Soit f une fonction définie, dérivable et strictement positive sur R telle que f(0)=1 et dont la dérivée f' est strictement positive. Soit C la courbe représentative de la fonction f. Soit a un réel quelconque, Ma le point de C d'abscisse a et Na le projeté orthogonal de Ma sur l'axe des abscisses. Soit Ta la tangente en Ma à la courbe C, Ta coupe l'axe des abscisses en Sa. La sous tangente NaSa est constante égal à 1
1) Déterminer les coordonnées de Na et Sa en fonction de a
a pour coordonnées (a, f(a))
a pour coordonnées (a, 0)
a pour équation y = f'(a)(x-a) + f(a)
Cette tangente coupe l'axe des abscisses en tel que f'(a)(x-a) + f(a) = 0
La dérivée de f est strictement positive donc
Ainsi, a pour coordonnées
2) Montrer que la seule fonction possible est la fonction exponentielle
La sous tangente est constante égale à 1 donc f(a)/f'(a) = 1
Pour tout nombre réel nous avons que f'(a) = f(a)
Donc pour tout nombre réel nous avons
La seule fonction possible est donc l'exponentielle.
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Bonjour,
Soit f une fonction définie, dérivable et strictement positive sur R telle que f(0)=1 et dont la dérivée f' est strictement positive. Soit C la courbe représentative de la fonction f. Soit a un réel quelconque, Ma le point de C d'abscisse a et Na le projeté orthogonal de Ma sur l'axe des abscisses. Soit Ta la tangente en Ma à la courbe C, Ta coupe l'axe des abscisses en Sa. La sous tangente NaSa est constante égal à 1
1) Déterminer les coordonnées de Na et Sa en fonction de a
Cette tangente coupe l'axe des abscisses en
tel que f'(a)(x-a) + f(a) = 0
La dérivée de f est strictement positive donc
Ainsi,
a pour coordonnées 
2) Montrer que la seule fonction possible est la fonction exponentielle
La sous tangente est constante égale à 1 donc f(a)/f'(a) = 1
Pour tout nombre réel
nous avons que f'(a) = f(a)
Donc pour tout nombre réel
nous avons 
La seule fonction possible est donc l'exponentielle.