Amaaisie Bonjour,

1)

z₁ = 2 + 2i
|z₁| = √(2² + 2²) = √(8) = 2√2

⇒ z₁ = 2√2(√2/2 + i√2/2) = 2√2(cos(π/4) + isin(π/4))

z₂ = -√3 - i

|z₂| = √(3 + 1) = 2

⇒ z₂ = 2(-√3/2 - i/2) = 2(cos(7π/6) + isin(7π/6))

z₃ = z₁/z₂

⇒ |z₃| = |z₁|/|z₂| = 2√2/2 = √2

et arg(z₃) = arg(z₁) - arg(z₂) = π/4 - 7π/6 = -11π/12

⇒ z₃ = √2(cos(-11π/12) + isin(-11π/12))

2) z₃ = z₁/z₂

= (2 + 2i)/(-√3 - i)

= (2 + 2i)(-√3 + i)/(-√3 - i)(-√3 + i)

= (-2√3 + 2i - 2i√3 - 2)/4

= (-√3 - 1)/2 + i(-√3 + 1)/2

3) on en déduit :

cos(13π/12) = cos(-11π/12) = (-√3 - 1)/2

et

sin(13π/12) = sin(-11π/12) = (-√3 + 1)/2

4)

sin(-13π/12) = - sin(13π/12) = (√3 - 1)/2

cos(π/12) = cos(13π/12 - π) = - cos(13π/12) = (√3 + 1)/2

5)

z = cos(13π/12) + isin(13π/12)

arg(z) = 13π/12

arg(zⁿ) = n x arg(z) = 13nπ/12

6) zⁿ ∈ R ⇒ arg(zⁿ) = 0 [π]

⇒ 13nπ/12 = kπ (k∈Z)

⇔ n = 12k/13

n est un entier ⇒ n minimal pour k = 13

Soit n = 12

scoladan

Verified answer

Z1= 2=2i
IZ1I=racine 2²+2² = racine de 8= 2racine2
a=2 tu divises par le module : 2/2racine de 2 = 1/racine2 = racine de 2/2 (si tu multiplie par racine de 2) pareil pour la partie im
donc tu trouves angle de pi/4 :
z1= 2racine2 *(cos pi/4 + sin pi/4)