Bonsoir. Pourriez-vous me venir en aide pour cette exercice s'ils-vous-plaît je comprend pas trop. Merci d'avance.
Un groupe de presse édite un magazine qu'il propose en abonnement. Jusqu'en 2010, ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnés du magazine ont le choix entre la version numérique et la version papier. Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d'avis : 10 % des abonnés de la version papier passent à la version numérique et 6 % des abonnés de la version numérique passent à la version papier. On admet que le nombre global d'abonnés reste contant dans le temps. On note a n , la proportion d'abonnés ayant choisi la version papier en 2010 + net b n ,la proportion d'abonnés ayant choisi la version numérique en 2010 + n.
1. Justifier que ao = 1, bo = 0 et pour tout n
appartenant à N, an+1 = 0,9an +0,06bn.
2. En déduire que pour tout ne N, an+1 = 0,84an +0,06.
3. Déterminer l'expression de a n en fonction de n
4. A l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de quelle année la proportion d'abonnés à la version
papier devient inférieure à la proportion d'abonnés à la version numérique.
Un groupe de presse édite un magazine qu'il propose en abonnement. Jusqu'en 2010, ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnés du magazine ont le choix entre la version numérique et la version papier. Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d'avis : 10 % des abonnés de la version papier passent à la version numérique et 6 % des abonnés de la version numérique passent à la version papier. On admet que le nombre global d'abonnés reste contant dans le temps. On note a n , la proportion d'abonnés ayant choisi la version papier en 2010 + net b n ,la proportion d'abonnés ayant choisi la version numérique en 2010 + n.
1. Justifier que ao = 1, bo = 0 et pour tout n
appartenant à N, an+1 = 0,9an +0,06bn.
2. En déduire que pour tout ne N, an+1 = 0,84an +0,06.
3. Déterminer l'expression de a n en fonction de n
4. A l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de quelle année la proportion d'abonnés à la version
papier devient inférieure à la proportion d'abonnés à la version numérique.
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Au départ, en 2010, le magazine était proposé uniquement sous forme papier, donc tous les abonnés ont choisi la version papier. Cela signifie que la proportion d'abonnés ayant choisi la version papier est de 1 (a₀ = 1) et la proportion d'abonnés ayant choisi la version numérique est de 0 (b₀ = 0).
Chaque année, 10 % des abonnés de la version papier passent à la version numérique. Donc, pour trouver la proportion d'abonnés à la version papier pour l'année suivante (aₙ₊₁), nous multiplions la proportion d'abonnés à la version papier de l'année précédente (aₙ) par 0,9 (pour représenter les 90 % restants) et ajoutons 0,06 fois la proportion d'abonnés à la version numérique de l'année précédente (bₙ).
2. En utilisant cette information, nous pouvons en déduire que pour tout n appartenant à N, aₙ₊₁ = 0,9aₙ + 0,06.
3. Pour déterminer l'expression de aₙ en fonction de n, nous pouvons utiliser la formule récursive aₙ₊₁ = 0,9aₙ + 0,06. En remplaçant aₙ₊₁ par aₙ, nous obtenons : aₙ = 0,9aₙ₋₁ + 0,06.
4. Pour déterminer à partir de quelle année la proportion d'abonnés à la version papier devient inférieure à la proportion d'abonnés à la version numérique, nous devons trouver la valeur de n pour laquelle aₙ devient inférieure à bₙ.
Pour cela, tu peux utiliser une calculatrice pour calculer les valeurs de aₙ et bₙ pour différentes valeurs de n à partir de 2010. Tu peux commencer avec n = 1 et augmenter progressivement jusqu'à ce que tu trouves la première année où aₙ devient inférieure à bₙ.