Réponse :

1.b que peut-on conjecturer pour les droites (AJ), (BK) et (CI)

pour les points I, J , K ainsi définis, les droites (AJ) , (BK) et (CI) sont concourantes au point D

2) déterminer, par calcul, les coordonnées des points I; J et K

soit  I(x ; y)

vec(AI) = (x - 4 ; y - 5)

vec(AB) = (1 - 4 ; 2 - 5) = (- 3 ; - 3)  d'où 1/3vec(AB) = (- 1 ; - 1)

(x - 4 ; y - 5) = (- 1 ; - 1)   d'où  x - 4 = - 1 ⇔ x = - 1+4 = 3

y - 5 = - 1 ⇔ y = - 1 + 5 = 4

les coordonnées de I sont:  I(3 ; 4)

vec(BJ) = (x - 1 ; y - 2)

vec(BC) = (9-1 ; 0-2) = (8 ; - 2)  d'où  3/4vec(BC) = (6 ; - 3/2)

donc  x - 1 = 6 ⇔ x = 7  et  y - 2 = - 3/2  ⇔ y = - 3/2) + 2 = 1/2

J(7 ; 1/2)

vec(CK) = (x - 9 ; y)

vec(CA) = (4 - 9 ; 5) = (- 5 ; 5)  d'où 2/5vec(CA) = (- 2 ; 2)

donc x - 9 = - 2 ⇔ x = 7  et y = 2

K(7 ; 2)

3) démontrer la conjecture émise à la question 1.b.

les vecteurs AD et DJ sont colinéaires ssi  x'y - y'x = 0

vec(AD) = (6-4 ; 2-5) = (2 ; - 3)

vec(DJ) = (7 - 6 ; 1/2 - 2) = (1 ; - 3/2)

1 * (- 3) - (-3/2)*2 = - 3 + 3 = 0 ;  les vecteurs AD et DJ sont colinéaires

donc  le point  D ∈ (AJ)

vec(BD) = (6-1 ; 2-2) = (5 ; 0)

vec(DK) = (7 - 6 ; 2 - 2) = (1 ; 0)

1 * 0 - 0* 5 = 0 ; les vecteurs BD et DK sont colinéaires donc  D ∈ (BK)

vec(CD) = (6 - 9 ; 2) = (- 3 ; 2)

vec(DI) = (3 - 6 ; 4 - 2) = (- 3 ; 2)

-3*2 - 2*(- 3) = - 6+6 = 0

les vecteurs CD et DI sont colinéaires  donc  D ∈ (CI)

le point D ∈ aux trois droites (AJ) ; (BK) et (CI)  donc les trois droites sont concourantes au point D      

Explications étape par étape