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Bonjour,

1) voir ci-dessous

2) on peut conjecturer qu'à l'infini, An → 2/3 x A₀A₁ = 2/3 x 16 = 32/3

3) Soit (Uₙ) la suite des coordonnées des points An :

A₀ : U₀ = 0

A₁ : U₁ = 16

A₂ : U₂ = (U₀ + U₁)/ 2 = (6+0)/2 = 8

A₃ : U₃ = (U₁ + U₂)/2 = (16 + 8)/2 = 12

A₄ : U₄ = (U₂ + U₃)/2 = (8 + 12)/2 = 10

A₅ : U₅ = (U₃ + U₄)/2 = (12 + 10)/2 = 11

A₆ : U₆ = (U₄ + U₅)/2 = (10 + 11)/2 = 10,5

Les termes pairs forment une suite croissante (Vₙ) et les termes impairs une suite décroissante (Wₙ) telles que :

V₀ = 0 et W₀ = 16

V₁ = 8 et W₁ = 12

V₂ = 10 et W₂ = 11

etc...

soit pour tout n ≥ 1,

Vₙ = (Vₙ₋₁ + Wₙ₋₁)/2 ⇒ Wₙ₋₁ = 2Vₙ - Vₙ₋₁ ⇒ Wₙ= 2Vₙ₊₁ - Vₙ

et Wₙ = (Vₙ + Wₙ₋₁)/2 ⇒ Vₙ = 2Wₙ - Wₙ₋₁

⇒ Vₙ = 2(2Vₙ₊₁ - Vₙ) - Wₙ₋₁

= 4Vₙ₊₁ - 2Vₙ - Wₙ₋₁

= 4Vₙ₊₁ - 2Vₙ - (2Vₙ - Vₙ₋₁)

= 4Vₙ₊₁ - 4Vₙ + Vₙ₋₁

⇔ 5Vₙ = 4Vₙ₊₁ + Vₙ₋₁    (exp : 5xV₁ = 40 et 4xV₂ + V₀ = 40)

⇔ Vₙ = (4Vₙ₊₁ + Vₙ₋₁)/5

De même on trouve Wₙ = (4Wₙ₊₁ + Wₙ₋₁)/5

(exp : W₁ = 12 et (4W₂ + W₀)/5 = (4x11 + 16)/5 = 12)

⇒ Vₙ₊₁ = (5Vₙ - Vₙ₋₁)/4 et Wₙ₊₁ = (5Wₙ - Wₙ₋₁)/4

⇒ V₂ = (5V₁ - V₀)/4       (et idem pour W)

= (5/4)V₁ - (1/4)V₀ = (5/4)V₁          (= (5/4) x 8 = 10)

V₃ = (5V₂ - V₁)/4

= (5/4)V₂ - (1/4)V₁

= (5/4)²V₁ - (1/4)V₁

= [(5/4)² - (1/4)]V₁

= (21/16)V₁                                 (= 21 x 8/16 = 10,5)

V₄ = (5V₃ - V₂)/4

= (5/4)V₃ - (1/4)V₂

= [(5/4)³ - (5/4)(1/4)]V₁ - (1/4)(5/4)V₁

= [(5/4)³ - 2x(1/4)(5/4)]V₁

= (125/64 - 40/64)V₁

= (85/64)V₁

V₅ = (5/4)V₄ - (1/4)V₃

= (5/4)(85/64)V₁ - (21/64)V₁

= (341/256)V₁

On voit que les dénominateurs sont de la forme 4ⁿ⁻¹

reste à trouver la relation entre 1, 5, 21, 85, 341 pour les dénominateurs (un peu galère j'ai pas le temps de finir cela)

puis en déduire la forme explicite de Vₙ puis sa limite

et idem avec Wₙ (= Vₙ mais avec W₀ = 16 et W₁ = 12 au lieu de V₀ = 0 et V₁ = 8)

puis limites des 2

et comme Uₙ = soit Vₙ soit Wₙ, lim Uₙ

voir tableur