Réponse :

1) faire une figure

vec(AE) = 3vec(BC) - 2vec(AB)                                 / E

vec(CF) = 2vec(BC)                                 /G             /

                                          A                 /                /

                                          /\................./................../

                                       /       \

                                    /               \

                             B  /........................ \ C.......................... F

2) recopier et compléter   vec(EF) = vec(EA) + vec(AC) + vec(CF)

3) en utilisant la relation de Chasles de la q.2) démontrer que les vecteurs EF et AB sont colinéaires

vec(EF) = vec(EA) + vec(AC) + vec(CF)

             = - vec(AE) + vec(AC) + 2vec(BC)

             = - (3vec(BC) - 2vec(AB)) + vec(AC) + 2vec(BC)

             =  - 3vec(BC) + 2vec(AB) + vec(AC) + 2vec(BC)

             = - vec(BC) + 2vec(AB) + vec(AC)

             = vec(CB) + 2vec(AB) + vec(AC)

             = vec(AC) + vec(CB) + 2vec(AB)

             = vec(AB) + 2vec(AB)

             = 3vec(AB)

donc il existe un réel k  tel que  vec(EF) = 3vec(AB)  donc les vecteurs AB et EF sont colinéaires

4) puisque les vecteurs AB et EF sont colinéaires donc les droites (AB) et (EF) sont parallèles

5) on donne le point G  tel que vec(AG) = vec(BC) - 2/3vec(AB)

construire le point G et démontrer que les points A; G et E sont alignés

vec(AE) = 3vec(BC) - 2vec(AB)

             = 3(vec(BC) - 2/3vec(AB))

             = 3vec(AG)

donc il existe un réel k  tel  vec(AE) = 3vec(AG) donc les vecteurs AE et AG sont colinéaires donc on déduit que les points A, G et E sont alignés

Explications étape par étape :