Réponse :

ex14

1) soit un entier a tel que a² est pair, Montrer que le nombre a est pair

 montrer    a² pair  ⇒ a pair

donc par contraposée  

⇔ a pas pair ⇒ a² pas pair

⇔ a impair ⇒ a² impair

soit a impair ⇒ a = 2 k + 1   avec  k ∈ Z

donc   a² = (2 k + 1)² = 4 k² + 4 k + 1

                = 2(2 k² + 2 k) + 1

                = 2 k' + 1    avec  {k' = 2 k² + 2 k

                                            {k' ∈ Z

donc  a² impair

donc   a² pair  ⇒ a pair                      

2) Montrer qu'au moins un de ces nombres est pair

soit a ; b et c les longueurs des côtés du triangle rectangle

et c : hypoténuse

si a est pair et b est pair   alors  a² est pair et b² est pair  donc c² = a² + b²  est pair  ;  on a déjà montré en 1) par contraposée que si c² est pair alors c est pair

si a est impair ⇒ a² est impair  et si b impair ⇒ b² est impair

 c² = a²+b² = (2k+1)² + (2k' + 1)²

                  = 4 k² + 4 k + 1 + 4 k'²+ 4 k' + 1

                  = 2(2k²+ 2k'² + 2 k + 2 k' + 1)

                  = 2 k"     avec k " = 2k²+ 2k'² + 2 k + 2 k' + 1

                                          k"  entier

puisque  c² est  donc par contraposée   c  pair    

Explications étape par étape :