Réponse :

soit une fonction du second degré   f(x) = a x² + b x + c   (a≠ 0  ; b ≠ 0)

donc f(x) a une forme développée

on chercher une forme canonique de f(x),  donc f(x) s'écrit :

   f(x) = a(x - α)² + β

avec  α = - b/2a   et  β = f(α)

pour le démontrer  

f(x) = a x² + b x + c

     = a x² + b x + c + b²/4a - b²/4a

     = a x² + b x + b²/4a  + c - b²/4a

     = a(x² + (b/a) x  + b²/4a²)) + (4ac - b²)/4a

     = a(x + b/2a)² +  (4ac - b²)/4a

posons  α = - b/2a  et  β = (4ac - b²)/4a

donc on retrouve la forme canonique de f(x) = a(x - α)² + β

Exemple d'application

  f(x) = 3 x² - 12 x + 24

α = - b/2a = 12/6 = 2

β = f(α) = f(2) = 3*2² - 12*2 + 24 = 12 - 24 + 24 = 12

on peut aussi utiliser   β = (4ac - b²)/4a

                                        = (4*3*24 - 12²)/12 =  (288 - 144)/12 = 12

            f(x) = 3(x - 2)² + 12  forme canonique

on peut utiliser une autre méthode

f(x) = 3 x² - 12 x + 24

     = 3(x² - 4 x + 8)

     = 3(x² - 4 x + 8  + 4 - 4)

    = 3((x² - 4 x + 4)  + 4)

    = 3(x - 2)² + 12    

Explications étape par étape