Réponse :

Explications étape par étape :

Bonsoir

sur ]0;12[

Le cout moyen est

Cm (x) = (x³/3  - 3x² + 10 x +36)/ x = x²/3 - 3x + 10 + 36/x

(x³ - 9x² + 30x + 108)/ 3x = x³/3 - 3x² + 10x + 36)/x = Cm(x)

b

Cm(x) est de la forme u(x)/v(x)  avec

u(x) =  (x³ - 9x² + 30x + 108) et v(x) = 3x

u'(x) = 3x² - 18x + 30  et v'(x) = 3

donc

Cm'(x)  = [u'(x) v(x) - u(x) v'(x)]/ (v(x))²

Cm'(x) = [(3x² - 18x + 30)(3x) - (x³ - 9x² + 30x + 108) ×3 ]/(3x)²

Cm'(x) = [ 3 (3x³ - 18x² + 30x ) - 3(x³ - 9x² + 30x + 108)} / (3x× 3x)

Cm'(x) = 3   [ (3x³ - 18x² + 30x ) - (x³ - 9x² + 30x + 108)} / (3x× 3x)

Cm'(x) =    [ (3x³ - 18x² + 30x ) - (x³ - 9x² + 30x + 108)} / (x× 3x)

Cm'(x) =    [ 3x³ - 18x² + 30x  - x³ + 9x² - 30x - 108)} / (3x²)

Cm'(x) =    [ 2x³ - 9x² - 78 } / (3x²)

[(x -6) (2x² + 3x + 18)] / 3x² = [2x³ + 3x² + 18 x - 12x² - 18x - 78]/(3x²) = [2x³ - 9x² -78]/(3x²) = Cm'(x)

Cm'(x) s'annule si  [(x -6) (2x² + 3x + 18)] / 3x²  = 0

si [(x -6) (2x² + 3x + 18)] = 0

soit x -6 = 0 ou 2x² + 3x 18 = 0

soit x = 6 ou 2x² + 3x + 18 = 0

calculons le discriminant Δ = b² - 4 ac

avec a = 2 b = 3 c = 18

Δ = (2)² - 4 (3)(18)

Δ = 4 - 216

Δ = - 212 <0 donc l'équation x² + 3x 18 = 0 n'admet pas de soltions

donc Cm' a le même signe x - 6

tableau de variation

x                           0                                         6                                          12

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x - 6                                 -                              ⊕                +

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Cm'                                  -                               ⊕              +

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Cm                    décroissante                                            croissante

c)

La quantité du produit pour que le cout moyen soit minimal est 6 tonnes