x > y         x² + y²  ;  2xy   ;   x² - y²     on compare ces nombres

pour comparer deux nombres on peut calculer leur différence.

a) (x² + y²) - 2xy = x² - 2xy  + y² = (x- y)²        

(x- y)²  carré donc un nombre positif

la différence (x² + y²) - 2xy est positive   (x² + y²) > 2xy

(x² + y²) - (x² - y²) = x² + y² - x² + y² = 2y²     2y² est positif

x² + y² > x² - y²

le plus grand des 3 nombres est x² + y²

Pour démontrer que c'est un carré Pythagoricien je vais calculer la somme des carrés des deux plus petits nombres et montrer qu'elle est égale au carré du plus grand.  (a² + b² = c²)

(x² - y²)² + (2xy)² = (x⁴ - 2x²y² + y⁴) + 4x²y²

                         =  x⁴ - 2x²y² + y⁴ + 4x²y² = x⁴ + 2x²y² + y⁴ =  (x² + y²)²

conclusion :  (x² - y²)² + (2xy)² = (x² + y²)²

                          a²      +     b²   =      c²

on peut alors trouver des nombres qui sont les mesures des côtés d'un triangle rectangle avec :  x² + y²  ;  2xy   et   x² - y²

1er exemple  x = 2 et y = 1

x² + y² => 2² + 1² = 4 + 1 = 5  ;  2xy => 2x2x1 = 4  ;  x² - y² => 2² - 1² = 3

on reconnait le triplet classique des triangles rectangles  3 ; 4 ; 5

2e exemple   x = 3 et y = 2

x² + y² => 3² + 2² = 13   ;  2xy =>  2 x 3 x 2 = 12 ;  x² - y² => 3² - 2² = 5

encore un triplet connu :  13² = 12² + 5²  (169 = 144 + 25)

je te laisse trouver les autres