Bonjour,

a) Pour que f(x) soit la somme de quatre fonctions dérivables sur R, nous pouvons écrire:

f(x) = g(x) + h(x) + j(x) + k(x)

Où g(x), h(x), j(x) et k(x) sont des fonctions dérivables sur R.

Nous pouvons chercher ces fonctions en utilisant les propriétés de la dérivation. Par exemple, nous pouvons remarquer que la dérivée de -5x³ est -15x², donc nous pouvons écrire :

f(x)= -5x³ + x² - 7x + 1

= (-5x³)' + (x²)' + (k(x))' + (g(x))'

= -15x² + 2x + k'(x) + g'(x)

Nous avons donc trouvé deux fonctions, k(x) et g(x), qui peuvent être n'importe quelle fonction dérivable, tant que leurs dérivées sont égales à 0 et -7 respectivement. Il reste à trouver h(x) et j(x) telles que :

h(x) + j(x) = -7x + 1

Nous pouvons prenare par exemple n(x) = -7x et j(x) = 1, qui sont toutes deux des fonctions dérivables sur R. Ainsi, nous avons :

f(x) = -5x³ + x² - 7x + 1

= (-5x³)' + (x²)' + (k(x))' + (g(x))'

= -15x² + 2x + k'(x) + g'(x)

= -7x + 1 - 7x + 0 + 0+ (x²)

Nous avons donc trouvé les quatre fonctions dérivables qui permettent d'écrire f(x) comme leur somme.

b) Comme f(x) est la somme de quatre fonctions dérivables sur R, elle est elle-même dérivable sur R. Sa dérivée est la somme des dérivées des quatre fonctions:

f'(x) = (g(x)+ h(x) + j(x) + k(x))'

= g'(x) + h'(x) + j'(x) + k'(x)

= -7 - 70 - 15x²

= -14 - 15x²

Ainsi, la fonction dérivée de f(x) est f(x) = -14 - 15x².

J'espère t'avoir aidé :)