✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a soma dos primeiros 71 termos da referida progressão aritmética é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S_{71} = 1764\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a progressão aritmética:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P.A.(7,14,21,\,\cdots,491)\end{gathered}$}[/tex]
OBSERVAÇÃO: para que a referida sequência seja de fato uma progressão aritmética o último termo deve ser 497:
Desta forma a progressão aritmética é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P.A.(7,14,21,\,\cdots,497)\end{gathered}$}[/tex]
Para calcular a soma dos "n" primeiros termos de uma progressão aritmética devemos utilizar a seguinte fórmula:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S_{n} = \frac{(A_{1} + A_{n})\cdot n}{2}\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que o termo geral da P.A. pode ser calculada por:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A_{n} = A_{1} + (n - 1)\cdot r\end{gathered}$}[/tex]
Isolando "n" na segunda equação temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n = \frac{A_{n} - A_{1}}{r} + 1\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que a razão de uma progressão aritmética é a diferença entre qualquer termo - exceto o primeiro - e seu antecessor, ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(IV)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} r = A_{n} - A_{n - 1}\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo "IV" em "III", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(V)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n = \frac{A_{n} - A_{1}}{A_{n} - A_{n - 1}} + 1\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo os dados na equação "V", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n = \frac{497 - 7}{14 - 7} + 1\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{490}{7} + 1\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{490 + 7}{7}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{497}{7}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 71\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:n = 71\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo os dados na equação "I", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S_{71} = \frac{(497 + 7)\cdot7}{2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{504\cdot7}{2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{3528}{2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 1764\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, a soma dos primeiros 71 termos da P.A. é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S_{71} = 1764\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
Copyright © 2024 ELIBRARY.TIPS - All rights reserved.
Lista de comentários
Verified answer
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a soma dos primeiros 71 termos da referida progressão aritmética é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S_{71} = 1764\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a progressão aritmética:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P.A.(7,14,21,\,\cdots,491)\end{gathered}$}[/tex]
OBSERVAÇÃO: para que a referida sequência seja de fato uma progressão aritmética o último termo deve ser 497:
Desta forma a progressão aritmética é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P.A.(7,14,21,\,\cdots,497)\end{gathered}$}[/tex]
Para calcular a soma dos "n" primeiros termos de uma progressão aritmética devemos utilizar a seguinte fórmula:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S_{n} = \frac{(A_{1} + A_{n})\cdot n}{2}\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que o termo geral da P.A. pode ser calculada por:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A_{n} = A_{1} + (n - 1)\cdot r\end{gathered}$}[/tex]
Isolando "n" na segunda equação temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n = \frac{A_{n} - A_{1}}{r} + 1\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que a razão de uma progressão aritmética é a diferença entre qualquer termo - exceto o primeiro - e seu antecessor, ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(IV)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} r = A_{n} - A_{n - 1}\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo "IV" em "III", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(V)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n = \frac{A_{n} - A_{1}}{A_{n} - A_{n - 1}} + 1\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo os dados na equação "V", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n = \frac{497 - 7}{14 - 7} + 1\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{490}{7} + 1\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{490 + 7}{7}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{497}{7}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 71\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:n = 71\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo os dados na equação "I", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S_{71} = \frac{(497 + 7)\cdot7}{2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{504\cdot7}{2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{3528}{2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 1764\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, a soma dos primeiros 71 termos da P.A. é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S_{71} = 1764\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais: