✅ Uma vez tendo resolvido os cálculos, concluímos que a projeção ortogonal do ponto "A" sobre a reta "r" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A' = \left(-\frac{5}{2},\,\frac{5}{2}\right)\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os dados:
[tex]\Large\begin{cases} A = (5, -5)\\r: x - y + 5 = 0\end{cases}[/tex]
Para calcularmos a projeção ortogonal do ponto "A" sobre a reta "r", devemos, na realidade, transladar o ponto genérico "P" pertencente à reta "r", sobre a referida reta, na direção do vetor projeção ortogonal do vetor "u" sobre o vetor "v".
Traduzindo isto algebricamente, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf I} ~~~~~~~~~A' = P + \textrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u}\end{gathered}$}[/tex]
Lista de comentários
✅ Uma vez tendo resolvido os cálculos, concluímos que a projeção ortogonal do ponto "A" sobre a reta "r" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A' = \left(-\frac{5}{2},\,\frac{5}{2}\right)\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os dados:
[tex]\Large\begin{cases} A = (5, -5)\\r: x - y + 5 = 0\end{cases}[/tex]
Para calcularmos a projeção ortogonal do ponto "A" sobre a reta "r", devemos, na realidade, transladar o ponto genérico "P" pertencente à reta "r", sobre a referida reta, na direção do vetor projeção ortogonal do vetor "u" sobre o vetor "v".
Traduzindo isto algebricamente, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf I} ~~~~~~~~~A' = P + \textrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u}\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf II}~~~~~~~ \textrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \left(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\right)\cdot\vec{v}\end{gathered}$}[/tex]
Inserindo "II" em "I", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf III} ~~~~~~A' = P + \left(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\right)\cdot\vec{v}\end{gathered}$}[/tex]
Agora para continuarmos a resolução devemos:
Fazendo x = -6, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}-6 - y + 5 & = 0\\-y & = 6 - 5\\-y & = 1\\y & = -1\end{aligned} $}[/tex]
Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P = (-6, -1)\end{gathered}$}[/tex]
Fazendo x = 0:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}0 - y + 5 & = 0\\-y & = -5\\y & = 5\end{aligned} $}[/tex]
Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} Q = (0, 5)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\vec{u} & = \overrightarrow{PA}\\& = A - P\\& = (5, -5) - (-6, -1)\\& = (5 - (-6),\, -5 - (-1))\\& = (5 + 6,\,-5 + 1)\\& = (11, -4)\end{aligned} $}[/tex]
Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{u} = (11, -4)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\vec{v} & = \overrightarrow{PQ}\\& = Q - P\\& = (0, 5) - (-6, -1)\\& = (0 - (-6),\,5 - (-1))\\& = (0 + 6,\,5 + 1)\\& = (6, 6)\end{aligned} $}[/tex]
Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{v} = (6,6)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}A' & = (-6, -1) + \left(\frac{(11, -4)\cdot(6, 6)}{(\sqrt[\!\diagup\!\!]{6^2 + 6^2})^{\!\diagup\!\!\!\!2}}\right)\cdot(6, 6)\\& = (-6, -1) + \left(\frac{11\cdot6 - 4\cdot6}{36 + 36}\right)\cdot(6, 6)\\& = (-6, -1) + \left(\frac{42}{72}\right)\cdot(6, 6)\\& = (-6, -1) + \left(\frac{252}{72},\frac{252}{72}\right)\\& = (-6, -1) + \left(\frac{7}{2},\frac{7}{2}\right)\end{aligned} $}[/tex]
Continuando o processo aritmético, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}A' & = \left(-6 + \frac{7}{2},\,-1 + \frac{7}{2}\right)\\& = \left(\frac{-12 + 7}{2},\,\frac{-2 + 7}{2}\right)\\& = \left(-\frac{5}{2},\,\frac{5}{2}\right)\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto, a projeção ortogonal do ponto "A" sobre a reta "r" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A' = \left(-\frac{5}{2},\,\frac{5}{2}\right)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]