N'ayant pas de calculette , je vais utiliser un tableur. Que ce soient seux en ligne , ou libreOffice, ouopen Office, leurs talbleurs sont compatibles Excel. Et j'ai excel.
Dans excel j'utilise :
=LOI.BINOMIALE(A6;n;p;cumulative)
avec contenue de cellule A6 = 20
cellule de nom n : 100 cellule de nom p = 0,204
cellule de nom cumulative = FAUX
j'obtiens :
p(X=20) = 0,099
Réponses aux questions :
a)
p(a) = p(X=20) = 0,099
b)
Evenement équivaut à : exactement 15 achètent
p(b) = p(X=15) = 0,042
c)
Au moins 16 achètent : c'est le contraire de moins que 16 acheteurs
Moins que 16 c'est p(0)+p(1)+p(2)...+p(15)
donc p(c) = 1 - (p(0)+p(1)+p(2)...+p(15))
Je vais passer cumulative à vrai et observer le cumul des probas de 0 à 15 : p(0)+p(1)+p(2)...+p(15) = 0,109 au millième
p(c) = 1 - 0,109 = 0,891
d)
Cet événement peut s'écrire :22 ou moins ont acheté
p(d) = cumul des p(X=k pour k de 0 à 22)
Dans excel : cumulative vrai, je regarde la ligne X= 22
p(d) = 0,705
e)
On calcule Cum₂₄= cumul des p(X=k pour k de 0 à 24)
On calcule Cum₁₆= cumul des p(X=k pour k de 0 à 16)
p(e) = Cum₂₄ - Cum₁₆
= 0,846- 0,167
= 0,679
7) intervalle ... ?
n= 100 p = 0,204
intervalle Iₙ = [ p - 1,96 √( p(1-p)/n ) ; p + 1,96 √( p(1-p)/n ) ]
Lista de comentários
Réponse :
Explications étape par étape :
Exo 1. : voir ficher texte
Exo 2)
Partie 1
1) schéma . voir fichier joint PNG
2) p(A) = ?
A = A₁∪A₂
p(A₁) = 0,4 x 0,3 (cf enchainement dans arbre)
= 0, 12 = 12%
p(A₂) = 0,6 . 1 . 0,7 . 0,2 =
= 84/1000 = 0,084
= 8,4%
p(A) = 20,4%
3) Sachant que A, p (D₁) ?
pour faire simple : 100% des gens qu'on interroge ont acheté.
ce groupe de personnes (A) se divise en 2 catégories : le groupe (A₁)
ceux qui ont acheté au 1er appel et les autres (A₂)
Evidemment, ils sont indiscernables mais la population du 1er groupe est proportionnelle à 12% et la population du 2nd groupe est proport. à 8,4%
Donc le poids de A₁est 120 et le poids de A₁ est 84. ce qui fait pour A 204
On peut répondre à la question : parmi ceux qui ont acheté, la proportion de ceux ui ont décroché au 1er appel est de 120/204
donc
Sachant qu'une personne a acheté, la proba qu'elle ait décroché au 1er appel est de 60/102 , près de 59%
2eme partie
p(A) = 0,204 = 20,4% ça confirme notre réponse.
X : nb personnes ayant acheté
100-X : ceux qui n'ont pas acheté.
4) Loi de proba de X ?
Dans une population P, grande, de personnes démarchées, on étudie l ' "achat du produit". Dans cette population :
- la proportion de personnes ayant acheté est notée p , et p vaut 20,4% (proba de succès) on note p(X=1)= p =0,204
- la proportion de personnes n'ayant pas acheté (échec) est notée q. On a q = 1-p = 100%-28,4%= 79,6%
C'est une Loi de Bernouilli ? Ou, car valeurs dans 0,1 (1 : succès)
paramètre p = p(X=1) = 20,4%
De cette population démarchée, on extrait, au hasard, un échantillon de 100.
X : variable aléatoire de nombre de personnes ayant acheté le produit.
Attention ! ça n'est pas p (20,4%) . p serait plus la moyenne des X d'un très grand nombre d'échantillons.
X suit une loi binomiale. En effet :
X suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=20,4%. On peut la noter B(n; p)
Pour tout k entre 0 et 100 :
avec
C(n,k) : nb Combinaisons de k parmi n et p**k : p puissance k :
q = 1-p
P(X=k) = C(n,k) . p**k . q**(n-k)
P(X=k) = C(100,k) . 0,204**k . 0,796**(100-k)
5.a) Espérance de X ?
E(X) = np = 100 0,204 = 20,4
L'espérance, c'est la moyenne des moyennes.
Lorsqu'on échantillonne .. un échantillon de 100 personnes, on peut espérer en avoir "20,4" ayant acheté.
Variance Var(X) = np(1-p) = 100 . 0,204 . 0,796 = 16,238 à 10⁻³près
Ecart-type = √Var(X) = 4,030 à 10⁻³près
6)
P(X=20) = C(100,20) . 0,204**20 . 0,796**(80)
N'ayant pas de calculette , je vais utiliser un tableur. Que ce soient seux en ligne , ou libreOffice, ouopen Office, leurs talbleurs sont compatibles Excel. Et j'ai excel.
Dans excel j'utilise :
=LOI.BINOMIALE(A6;n;p;cumulative)
avec contenue de cellule A6 = 20
cellule de nom n : 100 cellule de nom p = 0,204
cellule de nom cumulative = FAUX
j'obtiens :
p(X=20) = 0,099
Réponses aux questions :
a)
p(a) = p(X=20) = 0,099
b)
Evenement équivaut à : exactement 15 achètent
p(b) = p(X=15) = 0,042
c)
Au moins 16 achètent : c'est le contraire de moins que 16 acheteurs
Moins que 16 c'est p(0)+p(1)+p(2)...+p(15)
donc p(c) = 1 - (p(0)+p(1)+p(2)...+p(15))
Je vais passer cumulative à vrai et observer le cumul des probas de 0 à 15 : p(0)+p(1)+p(2)...+p(15) = 0,109 au millième
p(c) = 1 - 0,109 = 0,891
d)
Cet événement peut s'écrire :22 ou moins ont acheté
p(d) = cumul des p(X=k pour k de 0 à 22)
Dans excel : cumulative vrai, je regarde la ligne X= 22
p(d) = 0,705
e)
On calcule Cum₂₄= cumul des p(X=k pour k de 0 à 24)
On calcule Cum₁₆= cumul des p(X=k pour k de 0 à 16)
p(e) = Cum₂₄ - Cum₁₆
= 0,846- 0,167
= 0,679
7) intervalle ... ?
n= 100 p = 0,204
intervalle Iₙ = [ p - 1,96 √( p(1-p)/n ) ; p + 1,96 √( p(1-p)/n ) ]
I₁₀₀ =
[ 0,204 - 1,96 √( 0,204 (0,796)/100 ) ; 0,204 + 1,96 √( 0,204 (0,796)/100 ) ]
on a :
... voir fichier TXT ...
I₁₀₀ = [ 0,204 - 0,08 ; 0,204 + 0,08 ]
I₁₀₀ = [0,124 ; 0,284 ]
AUTREMENT :
X suit une loi binomiale de paramètresn= 100 p = 0,204
Dans la table des probabilités cumulées de X, on recherche :
- Le plus petit entier a tel que p(X ⩽ a) > 0,025. On trouve a = 13.
- Le plus petit entier b tel que p(X ⩽ b) ⩾ 0,975. On trouve b = 28
Comme la taille de l'échantillon est 100 , l’intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence correspondant
à X est : [13/100 ; 28/100 ] soit [ 0,13 ; 0,28]
C'est cohérent avec l'autre méthode de calcul.
b)
La fréquence observée : f = 27/100 = 0,27 appartient à l'intervalle.
L'hypothèse n'a pas à être remise en cause.