Com o objetivo de abordar as técnicas de resolução de
equações polinomiais com grau maior que 2, um professor pretende resolver, com seus alunos, a equação
x5
– 13x3 + 36x = 0. Sobre as raízes dessa equação, é
correto afirmar que
(A) quatro delas não pertencem ao conjunto dos números reais, e a única raiz real é igual a zero.
(B) são todas reais, e a soma delas é igual a zero.
(C) são todas reais, e a soma delas é igual a 5.
(D) duas delas não pertencem ao conjunto dos números
reais, e a soma das três outras é igual a zero.
(E) são todas reais, e a soma delas é igual a 13.
equações polinomiais com grau maior que 2, um professor pretende resolver, com seus alunos, a equação
x5
– 13x3 + 36x = 0. Sobre as raízes dessa equação, é
correto afirmar que
(A) quatro delas não pertencem ao conjunto dos números reais, e a única raiz real é igual a zero.
(B) são todas reais, e a soma delas é igual a zero.
(C) são todas reais, e a soma delas é igual a 5.
(D) duas delas não pertencem ao conjunto dos números
reais, e a soma das três outras é igual a zero.
(E) são todas reais, e a soma delas é igual a 13.
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Resposta:
Para resolver a equação \(x^5 - 13x^3 + 36x = 0\), podemos fatorar \(x\) como um termo comum:
\[x(x^4 - 13x^2 + 36) = 0\]
Então, temos duas soluções possíveis:
1. \(x = 0\)
2. \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\)
A segunda equação é uma equação quadrática em \(x^2\). Podemos fatorar isso como \((x^2 - 9)(x^2 - 4) = 0\), o que resulta em:
\[x^2 - 9 = 0 \quad \text{ou} \quad x^2 - 4 = 0\]
As raízes são \(x = \pm 3\) para a primeira equação e \(x = \pm 2\) para a segunda.
Então, as soluções totais são \(x = 0, \pm 3, \pm 2\). Portanto, a opção correta é:
(D) duas delas não pertencem ao conjunto dos números reais, e a soma das três outras é igual a zero.