Exercice 1: L'espace est rapporté à un repère orthonormé (0;i,j,k). On considère un plan P dont O est un vecteur normal. Et une droite d dont il est un vecteur directeur. 1) Soient et sont deux vecteurs orthogonaux et normés du plan P. a) Pourquoi le triplet de vecteurs (..) constitue-t-il une base de l'espace? H c) Prouver que si il est orthogonal à , alors il est une combinaison linéaire des vecteurs et . Que peut-on conclure sur la droite d? 2) 1 b) Justifier que (...) est une base orthonormée de l'espace. 1 Dans la base orthonormée (...), a pour coordonnées (a; B;y). ॥ 1 On a donc = a.+B.j³+y. H. x= 5-81 dy= 1-6t z = 3-4t Quelle est la position relative de la droite d par rapport au plan P:x-2y+z-6=0? Sécante au plan P? Strictement parallèle au plan P? Incluse dans le plan P? Justifier. 3) Calculer les coordonnées du point H projeté orthogonal du point L(4;-8;4) sur le plan P. Il est conseillé de faire un dessin. 4) Prouver que le point H appartient à la droite d. Exercice 2: On considère l'équation différentielle (Ec): y'=y+√x sur l'intervalle ]0; +∞0[. 1) Démontrer que g: x+ 2x√x est une solution particulière de (EG) sur ]0;+00[. 2) Démontrer que f est solution de (EG) sur ]0; +∞o[<> f-g est solution de (EH): y'= -y sur ]0;+00[. 3) Résoudre (E) dans ]0;+00[. 4) En déduire que f est solution de (Ec) sur ]0;+0o[ 3k € R, Vx €]0;+o0o[, f(x) = kx + 2x√√x.