Exercice 1: L'espace est rapporté à un repère orthonormé (0;i,j,k).
On considère un plan P dont O est un vecteur normal. Et une droite d dont il est un vecteur
directeur.
1) Soient et sont deux vecteurs orthogonaux et normés du plan P.
a) Pourquoi le triplet de vecteurs (..) constitue-t-il une base de l'espace?
H
c) Prouver que si il est orthogonal à , alors il est une combinaison linéaire des vecteurs et . Que
peut-on conclure sur la droite d?
2)
1
b) Justifier que (...) est une base orthonormée de l'espace.
1
Dans la base orthonormée (...), a pour coordonnées (a; B;y).
॥
1
On a donc = a.+B.j³+y. H.
x= 5-81
dy= 1-6t
z = 3-4t
Quelle est la position relative de la droite d par rapport au plan P:x-2y+z-6=0?
Sécante au plan P? Strictement parallèle au plan P? Incluse dans le plan P? Justifier.
3) Calculer les coordonnées du point H projeté orthogonal du point L(4;-8;4) sur le plan P. Il est
conseillé de faire un dessin.
4) Prouver que le point H appartient à la droite d.
Exercice 2:
On considère l'équation différentielle (Ec): y'=y+√x sur l'intervalle ]0; +∞0[.
1) Démontrer que g: x+ 2x√x est une solution particulière de (EG) sur ]0;+00[.
2) Démontrer que f est solution de (EG) sur ]0; +∞o[<> f-g est solution de (EH): y'= -y sur ]0;+00[.
3) Résoudre (E) dans ]0;+00[.
4) En déduire que f est solution de (Ec) sur ]0;+0o[ 3k € R, Vx €]0;+o0o[, f(x) = kx + 2x√√x.