a/(a+b+c)  ≤ a/(a+b)    car   c >0

b/(b+c +a)  ≤ b/(b+c)   car a>0

c/(c+a+b) ≤ c/(c+a)    car b >0  

donc

(a+b+c)/(a+b+c)  ≤   a/(a+b)   +  b/(b+c)  + c/(c+a)  

1 ≤a/(a+b)   +  b/(b+c)  + c/(c+a)  

a/(a+b) +b/(b+c)  + c/(c+a)   -2  =  

( a(b+c)(c+a) + b(a+c)(a+b) +c(a+b)(b+c)  ) /(a+b)(b+c)(c+a)  -2

(  abc +a²b+ac²+a²c+ba²+b²a+abc+b²c+abc+c²a+cb²+c²b)/(a+b)(b+c)(c+a)  -2

(3abc + 2a²b + 2ac² + a²c + ab² + 2b²c +c²b)  /(a+b)(b+c)(c+a)  -   2  =

((3abc +2a²b+2ac² +a²c+ab²+2b²c+c²b  - 2(abc +a²b+ac²+a²c+b²c+b²a+bc²+bca)) / (a+b)(b+c)(c+a) =

( -abc  - a²c -ab² - c²b ) / (a+b)(b+c)(c+a)  ≤ 0