Computadores são bastante úteis em situações da nossa vida, e isso não é diferente quando falamos de matemática. Em diversas situações, utilizamos computadores para realizar cálculos que seriam muito extensos para serem feitos à mão. No entanto, nesses casos, trabalhamos com aproximações de funções.
Assinale a alternativa que apresenta o erro obtido quando utilizamos o teorema de Taylor de ordem 2 para aproximar a função f(x)=ex no ponto x=2,02, utilizando como referência o ponto a=2
a.
e to the power of 3 x end exponent over 6 space left parenthesis 0 comma 000008 right parenthesis space p a r a space a l g u comma space x space element of space left square bracket 2 comma 2.02 right square bracket
b.
fraction numerator 1 over denominator 6 e to the power of x end fraction space left parenthesis 0 comma 000008 right parenthesis space p a r a space a l g u m space x space element of space left square bracket 2 comma space 2.02 right square bracket
c.
e to the power of x over 6 space left parenthesis 0 comma 000008 right parenthesis space p a r a space a l g u m space x space element of space left square bracket 2 comma space 2.02 right square bracket
d.
e to the power of x over 6 space left parenthesis 0 comma 000008 right parenthesis space p a r a space a l g u m space x space element of space left square bracket 2 comma infinity right square bracket
e.
e to the power of x space left parenthesis 0 comma 000008 right parenthesis space p a r a space a l g u m space x space element of space left square bracket 2 comma 2.02 right square bracket
Assinale a alternativa que apresenta o erro obtido quando utilizamos o teorema de Taylor de ordem 2 para aproximar a função f(x)=ex no ponto x=2,02, utilizando como referência o ponto a=2
a.
e to the power of 3 x end exponent over 6 space left parenthesis 0 comma 000008 right parenthesis space p a r a space a l g u comma space x space element of space left square bracket 2 comma 2.02 right square bracket
b.
fraction numerator 1 over denominator 6 e to the power of x end fraction space left parenthesis 0 comma 000008 right parenthesis space p a r a space a l g u m space x space element of space left square bracket 2 comma space 2.02 right square bracket
c.
e to the power of x over 6 space left parenthesis 0 comma 000008 right parenthesis space p a r a space a l g u m space x space element of space left square bracket 2 comma space 2.02 right square bracket
d.
e to the power of x over 6 space left parenthesis 0 comma 000008 right parenthesis space p a r a space a l g u m space x space element of space left square bracket 2 comma infinity right square bracket
e.
e to the power of x space left parenthesis 0 comma 000008 right parenthesis space p a r a space a l g u m space x space element of space left square bracket 2 comma 2.02 right square bracket
Lista de comentários
O erro obtido ao utilizar o teorema de Taylor de ordem 2 para aproximar a função f(x) = e^x no ponto x = 2.02, com referência ao ponto a = 2, é representado pela alternativa b) [e^x/6]x(0,000008), para x pertencente ao intervalo [2, 2.02].
Teorema de Taylor
O Teorema de Taylor é uma técnica que nos permite aproximar uma função por meio de uma série de potências em torno de um ponto específico. Para a função f(x) = e^x, estamos usando o teorema de Taylor de ordem 2 (que inclui até a segunda derivada) em torno do ponto a = 2 para aproximar f(x) em x = 2.02.
A fórmula da aproximação de Taylor, de ordem 2, é dada por:
f(x)≈f(a)+[f'(a)]x[(x - a)] + (1/2)x[f''(a)]x[(x - a)^2]
Calculando as derivadas da fórmula:
f(a)=e^x
f'(a)=e^x (a derivada de e^x é sempre e^x)
f''(a)=e^x (a segunda derivada de e^x também é e^x)
O erro é obtido pelo termo de ordem superior, no caso do teorema de Taylor de segunda ordem é o termo de terceira ordem. Assim:
f(x)≈(1/6)x[f'''(a)]x[(x - a)^3]
Substituindo a derivada na expressão:
f(x) ≈ (1/6)x[e^x]x[(x - 2)^3])
Agora, para calcular o erro entre a aproximação de Taylor e o valor real de f(2.02), subtrai-se a aproximação de Taylor do valor real:
Erro=[(e^x)x((1/6)x(2,02-2)^3)]
Erro=[e^x]x(1/6x(0,02^3))
Erro=[1/6]x[e^x]x(0,00008)
Finalmente, o erro é aproximadamente 1/6x[e^x]x0,000008 para x no intervalo [2, 2.02], que corresponde à alternativa b.
Saiba mais sobre teorema de Taylor em: https://brainly.com.br/tarefa/55236270
#SPJ1