A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, podemos concluir que o polinômio de Taylor de grau 3 da função xln x é igual a [tex]\boxed{\bf P_3(x)= ( x-1)+\dfrac{1}{2}(x-1)^2-\dfrac{1}{6}(x-1)^3}[/tex]

A definição "oficial" do polinômio de Taylor é que é uma aproximação polinomial de uma função n vezes diferenciável em um ponto exato. Isso significa que o Polinômio de Taylor nada mais é do que a soma finita de derivadas locais que são avaliadas em um ponto específico.

Ao fazer a representação gráfica de um polinômio de Taylor, pode-se observar que, à medida que o grau do polinômio aumenta, ele se aproxima mais precisamente da função que representa em torno do ponto estudado.

Para obter o polinômio de Taylor podemos nos basear na seguinte série infinita:

[tex]\boxed{\displaystyle \bf P(x)=\sum^{\infty} _{n=0}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}[/tex]

Como queremos obter um polinômio de Taylor de grau 3, devemos expandir os 4 primeiros termos da série, pois os 4 primeiros termos chegariam a um polinômio de grau 3.

[tex]\boxed{ \bf P_3(x)=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0) +\dfrac{f''(x_0)}{2!} (x-x_0)^2 + \dfrac{f'''(x_0)}{3!} (x-x_0)^3}[/tex]

Sabemos que queremos obter o polinômio de Taylor de grau 3 da função xln x em torno do ponto [tex]x _0=1[/tex], então substituindo [tex]x_0[/tex] por 1 em nossa expressão e temos:

[tex]P_3(x)=f(1)+\dfrac{f'(1)}{1!} (x-1) +\dfrac{f''(1)}{2!} (x-1)^2 + \dfrac{f'''(1)}{3!} (x-1)^3\\\\\\ P_3(x)=f(1)+f'(1)(x-1) +\dfrac{f''(1)}{2} (x-1)^2 + \dfrac{f'''(1)}{6} (x-1)^3[/tex]

Aqui devemos encontrar as 3 primeiras derivadas da função x ln x e uma vez que as três primeiras derivadas tenham sido encontradas, devemos encontrar o valor numérico para substituir 1 nessas 3 primeiras derivadas.

[tex] f'(x)=\dfrac{d}{dx} x\ln{(x)}[/tex]

Para derivar a função pela primeira vez vamos ter que aplicar a regra do produto, a regra do produto ou a regra de Leibniz para a derivação de um produto, é uma fórmula usada para encontrar a derivada do produto de duas ou mais funções: [tex]\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'[/tex]

Aplicando a regra do produto obtemos a seguinte expressão que é ainda mais fácil de derivar:

[tex] f'(x)=\left(\dfrac{d}{dx} x\right)\cdot\ln{(x)}+x\cdot \left(\dfrac{d}{dx} \ln{(x)}\right)\qquad\rm{(i)}\\[/tex]

Essas derivadas são ainda mais simples, pois algumas podem ser obtidas por tabelas de derivação, revisando uma tabela sobre derivadas podemos concluir que a derivada de x e o logaritmo natural são iguais a:

[tex]\boxed{\dfrac{d}{dx}x=1}\boxed{\dfrac{d}{dx}\ln{(x)}=\dfrac{1}{x}}[/tex]

Substituindo o valor dessas derivadas na expressão (i) podemos concluir que a primeira derivada da nossa função é igual a:

[tex] f'(x)=1\cdot\ln{(x)}+x\cdot \dfrac{1}{x}\\\\ f'(x)=\ln{(x)}+1[/tex]

Como encontramos a primeira derivada de nossa função, começamos a encontrar sua segunda derivada, a segunda derivada é igual a derivar a função uma segunda vez.

[tex]f''(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\ln{(x)}+1\right)[/tex]

Para encontrar a segunda derivada, vamos ter que aplicar a regra da adição, a regra da adição afirma que a derivada de uma soma de funções é igual à soma de suas derivadas, ou seja, que:

[tex](f+g)'= f'+g'[/tex]

Aplicando isso em nossa derivada obtemos a expressão:

[tex]f''(x)=\dfrac{d}{dx}\ln{(x)}+\dfrac{d}{dx}1\qquad \rm{(ii)}[/tex]

Já sabemos a que é igual a derivada do logaritmo natural mas não sabemos a derivada de 1, mas por definição a derivada de uma constante é sempre igual a 0 e 1 pode ser tomado como constante, substituindo os valores já sabemos em (ii) obtemos a expressão:

[tex]f''(x)=\dfrac{1}{x}+0\\\\ f''(x)=\dfrac{1}{x}[/tex]

Agora, finalmente, devemos encontrar a terceira derivada da nossa função, essa derivada é ainda mais simples, pois podemos envolver uma das muitas propriedades dos expoentes, uma dessas propriedades é:

[tex]\boxed{\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}}[/tex]

Quando aplicamos esta propriedade em nossa expressão devemos realizar a seguinte derivada:

[tex]f'''(x)=\dfrac{d}{dx}x^{-1}[/tex]

Pela regra da potência, devemos saber que a derivada de uma função de potência ou potencial é igual ao expoente vezes a base elevada ao expoente menos um e vezes a derivada da base, na forma matemática:

[tex]\boxed{\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}}[/tex]

• Então nossa terceira derivada será igual à função:

[tex]f'''(x)=-1\cdot x^{-1-1}\\\\ f'''(x)=-x^{-2} \\\\ f'''(x)=-\dfrac{1}{x^2}[/tex]

Agora vamos ver os valores que vamos obter substituindo x por 1 na função original até sua terceira derivada, para isso vamos fazer a seguinte tabela de valores:

[tex]\begin{cases}f(1)=1\cdot \ln{(1)} \\ \\ f'(1)=\ln{(1)}+1\\ \\ f''(1)=\dfrac{1}{1}\\ \\ f'''(1)=-\dfrac{1}{1^2}\end{cases}\qquad \begin{cases}f(1)=0\\ \\ f'(1)=1\\ \\ f''(1)=1\\ \\ f'''(1)=-1\end{cases}[/tex]

Substituindo temos:

[tex]P_3(x)=0+(x-1) +\dfrac{1}{2} (x-1)^2 - \dfrac{1}{6} (x-1)^3\\\\ \boxed{\bf P_3(x)=(x-1)+\dfrac{1}{2}(x-1)^2-\dfrac{1}{6}(x-1)^3}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{Resposta~B }[/tex]