Considere a função f(x) = x3 - 6x2 + 9x - 2. Considere também as seguintes afirmativas:
A função é crescente em (-∞, 1) ∪ (3, +∞) e decrescente em (1, 3)
A função é côncava para cima em (2, +∞) e côncava para baixo em (-∞, 2)
A função tem um ponto de máximo relativo em x = 1 um ponto de mínimo relativo em x = 3 e um ponto de inflexão em x = 2
Das afirmativas acima pode-se dizer que:
( )Grupo de escolhas da pergunta
( )Apenas as afirmativas I e III estão corretas;
( )Todas as afirmativas estão corretas.
( )Apenas as afirmativas II e III estão corretas;
( )Apenas a afirmativa I está correta;
( )Apenas as afirmativas I e II estão corretas;
A função é crescente em (-∞, 1) ∪ (3, +∞) e decrescente em (1, 3)
A função é côncava para cima em (2, +∞) e côncava para baixo em (-∞, 2)
A função tem um ponto de máximo relativo em x = 1 um ponto de mínimo relativo em x = 3 e um ponto de inflexão em x = 2
Das afirmativas acima pode-se dizer que:
( )Grupo de escolhas da pergunta
( )Apenas as afirmativas I e III estão corretas;
( )Todas as afirmativas estão corretas.
( )Apenas as afirmativas II e III estão corretas;
( )Apenas a afirmativa I está correta;
( )Apenas as afirmativas I e II estão corretas;
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Resposta:
Explicação passo a passo:
1) A derivada da função é f'(x) = 3x² - 12x + 9, cujas raízes são 1 e 3. Ou seja, há um máximo local em (1,2) e um mínimo local em (3,-2). Então, é verdade que a função é crescente em (-∞, 1) ∪ (3, +∞) e decrescente em (1, 3).
2) A segunda derivada da função é f"(x) = 6x - 12 cuja raiz é x=2. Ou seja, existe um ponto de inflexão em (2,0) .
Todas as afirmativas estão corretas.
Resposta:
Todas as afirmativas estão corretas.
Explicação passo a passo:
Dada a função real [tex]f[/tex] assim definida:
[tex]f(x) = x^3 -6x^2 + 9x -2,[/tex]
avaliemos as afirmações abaixo.
I. A função é crescente em [tex]\left]-\infty, 1\right[ \cup \left]3, +\infty\right[[/tex] e decrescente em [tex]\left]1,3\right[[/tex].
Calculemos a primeira derivada de [tex]f:[/tex]
[tex]f'(x) = 3x^2 -12x+9\\\\\Longleftrightarrow f'(x) = 3\left(x - 1\right)\left(x-3\right)[/tex]
Estudando o sinal de [tex]f'(x)[/tex], observamos o seguinte:
[tex]f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,ou\,\,\,x = 3;\\\\f'(x) > 0 \Leftrightarrow x < 1\,\,\,ou\,\,\,x > 3;\\\\f'(x) < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3.[/tex]
Uma vez que [tex]f[/tex] é crescente no subdomínio em que [tex]f'[/tex] é positiva e é decrescente no subdomínio em que [tex]f'[/tex] é negativa, a afirmação está correta.
II. A função é côncava para cima em [tex]\left]2, +\infty\right[[/tex] e côncava para baixo em [tex]\left]-\infty, 2\right[[/tex].
Determinemos a segunda derivada de [tex]f:[/tex]
[tex]f''(x) = 6x - 12[/tex]
Estudando o sinal de [tex]f''(x)[/tex], observamos o que se segue:
[tex]f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2;\\\\f''(x) > 0 \Leftrightarrow x > 2;\\\\f''(x) < 0 \Leftrightarrow x < 2.[/tex]
Tendo em vista que [tex]f[/tex] tem concavidade para cima no subdomínio no qual [tex]f''[/tex] é positiva e tem concavidade para baixo no subdomínio no qual [tex]f''[/tex] é negativa, a afirmação é verdadeira.
III. A função tem um ponto de máximo relativo em x = 1 um ponto de mínimo relativo em x = 3 e um ponto de inflexão em x = 2.
A primeira derivada de [tex]f[/tex] se anula para dois valores de [tex]x: x= 1[/tex] ou [tex]x = 3[/tex].
Para [tex]x = 1[/tex], [tex]f''[/tex] é negativa, portanto, a concavidade de [tex]f[/tex] é para baixo. Assim, [tex]x = 1[/tex] é um ponto de máximo relativo.
Para [tex]x = 3[/tex], [tex]f''[/tex] é positiva, portanto, a concavidade de [tex]f[/tex] é para cima. Logo, [tex]x = 3[/tex] é um ponto de mínimo relativo.
Conforme vimos acima, [tex]x = 2[/tex] é o ponto em que [tex]f[/tex] muda de concavidade. Assim, [tex]x = 2[/tex] é um ponto de inflexão.