Resposta:

Resposta correta: B)Apenas I e II.

Explicação passo a passo:

Olá!

Para utilizar a integração por partes, ambas as funções devem ser diferenciáveis e suas derivadas são contínuas.

Temos que:

[tex]\displaystyle \int u\ dv = uv - \int v\ du[/tex]

Onde:

[tex]u = f(x)[/tex]

[tex]du = f'(x)[/tex]

[tex]v = g(x)[/tex]

[tex]dv = g'(x)[/tex]

Demonstração:

Relembremos a regra da Derivada de um Produto:

[tex]\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ u(x) \cdot v(x) \right] = u'(x)\cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)[/tex]

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a dx e ver o que acontece:

[tex]\displaystyle \int \frac{d}{dx}\left[ u(x) \cdot v(x) \right] = \int u'(x)\cdot v(x)\ dx + \int u(x) \cdot v'(x)\ dx[/tex]

[tex]\displaystyle \left[ u(x) \cdot v(x) \right] = \int u'(x)\cdot v(x)\ dx + \int u(x) \cdot v'(x)\ dx[/tex]

[tex]\displaystyle \left[ u(x) \cdot v(x) \right] = \int \frac{du}{dx} \cdot v(x)\ dx + \int u(x) \cdot \frac{dv}{dx}\ dx[/tex]

[tex]\displaystyle \left[ u(x) \cdot v(x) \right] = \int du \cdot v(x) + \int u(x) \cdot dv[/tex]

[tex]\displaystyle \left[ u(x) \cdot v(x) \right] - \int du \cdot v(x) = \int u(x) \cdot dv[/tex]

Concluindo e organizando:

[tex]\displaystyle \int u\cdot dv = uv - \int v \cdot du[/tex]

OU

[tex]\displaystyle \int f(x)g'(x)\ dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)\ dx[/tex]

Espero ter lhe ajudado.

Abraços!