Considere que f: Z -> Z seja uma função do tipo f(x) = ax+b com a,b e Z tal que f(2) = 0 e f(-3)=5 com base nessas informações resolva os itens que segue: a - escreva a equação que define f b- faca um espoco do grafico de f c prove que para todo x e z ,f(4x) e divisivel por 2 d prove que f e injetora e sobrejetora e determine (f of)(x) f determine a inversa de f
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Resposta:
Resposta:
a. A equação que define f é:
f(x) = 2x - 5
b. O gráfico de f é uma reta com inclinação 2 e intercepto no eixo y igual a -5.
Gráfico da função f: ./images/funcao_f.png
c. Para todo x e Z, f(4x) = 8x - 20. Como 8x é um múltiplo de 4, então f(4x) é também um múltiplo de 4. Logo, f(4x) é divisivel por 2.
d. Para provar que f é injetora, basta mostrar que f(x1) = f(x2) implica x1 = x2.
f(x1) = f(x2)
2x1 - 5 = 2x2 - 5
x1 - x2 = 0
x1 = x2
Portanto, f é injetora.
Para provar que f é sobrejetora, basta mostrar que para todo y em Z existe x em Z tal que f(x) = y.
Como f(x) = 2x - 5, basta resolver a equação 2x - 5 = y.
2x = y + 5
x = (y + 5) / 2
Portanto, f é sobrejetora.
Para determinar (f of)(x), basta substituir x por f(x) na definição de f.
(f of)(x) = f(f(x))
= 2 * f(x) - 5
= 2 * (ax + b) - 5
= 2ax + 2b - 5
Para determinar a inversa de f, basta resolver a equação f(x) = y para x.
2x - 5 = y
x = (y + 5) / 2
Portanto, a inversa de f é g(x) = (x + 5) / 2.
Respostas resumidas:
a. f(x) = 2x - 5
b. O gráfico de f é uma reta com inclinação 2 e intercepto no eixo y igual a -5.
c. Para todo x e Z, f(4x) é divisivel por 2.
d. f é injetora e sobrejetora.
(f of)(x) = 2ax + 2b - 5
g(x) = (x + 5) / 2