Réponse:

1.

On etablit la loi de probabilité de X.

Les différents gains algebriques sont

X={ -3; 0; 6}

xᵢ | -3 | 0 | 6 |

P(X=xᵢ) | 8/20 | 10/20| 2/20 |

Calculons l'esperance. Le jeu est equitable si l'esperance est nulle.

E(X) = (-3×8+0×10+6×2)/20 = -12/20 = - 0,6

Un joueur perd en moyenne 0,6€, ce jeu n'est pas favorable au joueur.

2.

Y={ 1-y; 4-y; 10-y}

yᵢ | 1-y | 4-y | 10-y |

P(Y=yᵢ) | 8/20 | 10/20| 2/20 |

E(Y)=0

[8×(1-y)+10×(4-y)+2×(10-y)]/20 = 0

(68-20y)/20 = 0

68- 20y = 0

y = 3,4

Le jeu est équitable pour une mise de 3€40.

3. On remarque que

3,4 = -0,6 + 4

soit

E(Y) = E(X) + 4

E(Y) = E(X+4) par linéarité de l'espérance.

d'où

Y = X+4

4.

Par propriété σ(aX+b) = |a|σ(X)

donc

σ(Y) = σ(X+4) = σ(X)

l'ecart type de Y est identique à celui de X donc les gains ne sont pas plus dispersés avec cette nouvelle mise.