Coucou si quelqu'un pouvais m'aider sa serait sympa s'il vous plaaait :) c'est un exercice avec 4 question niveau 1re svp !!
Le roue d’une loterie comporte 20 secteurs identiques dont 8 rapportent 1 euro, 10 rapportent 4 euros et 2 rapporte 10 euros.
Le joueur doit miser 4 euros avant de lancer la roue (c’est la mise de départ).
1) Le jeu est il favorable au joueur ? (On notera X la variable utilisée)
2) Déterminer le montant de la mise pour que le jeu soit équitable. (On note Y la variable aléatoire utilisée).
3) Exprimer Y en fonction de X.
4) Avec cette nouvelle mise, les gains du jeu sont-ils plus dispersés qu’avant ou non ? (Justifier).
Le roue d’une loterie comporte 20 secteurs identiques dont 8 rapportent 1 euro, 10 rapportent 4 euros et 2 rapporte 10 euros.
Le joueur doit miser 4 euros avant de lancer la roue (c’est la mise de départ).
1) Le jeu est il favorable au joueur ? (On notera X la variable utilisée)
2) Déterminer le montant de la mise pour que le jeu soit équitable. (On note Y la variable aléatoire utilisée).
3) Exprimer Y en fonction de X.
4) Avec cette nouvelle mise, les gains du jeu sont-ils plus dispersés qu’avant ou non ? (Justifier).
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Réponse:
1.
On etablit la loi de probabilité de X.
Les différents gains algebriques sont
X={ -3; 0; 6}
xᵢ | -3 | 0 | 6 |
P(X=xᵢ) | 8/20 | 10/20| 2/20 |
Calculons l'esperance. Le jeu est equitable si l'esperance est nulle.
E(X) = (-3×8+0×10+6×2)/20 = -12/20 = - 0,6
Un joueur perd en moyenne 0,6€, ce jeu n'est pas favorable au joueur.
2.
Y={ 1-y; 4-y; 10-y}
yᵢ | 1-y | 4-y | 10-y |
P(Y=yᵢ) | 8/20 | 10/20| 2/20 |
E(Y)=0
[8×(1-y)+10×(4-y)+2×(10-y)]/20 = 0
(68-20y)/20 = 0
68- 20y = 0
y = 3,4
Le jeu est équitable pour une mise de 3€40.
3. On remarque que
3,4 = -0,6 + 4
soit
E(Y) = E(X) + 4
E(Y) = E(X+4) par linéarité de l'espérance.
d'où
Y = X+4
4.
Par propriété σ(aX+b) = |a|σ(X)
donc
σ(Y) = σ(X+4) = σ(X)
l'ecart type de Y est identique à celui de X donc les gains ne sont pas plus dispersés avec cette nouvelle mise.