Usando a regra de l'Hôpital, determinamos que o limite II está correto. Logo, a alternativa 2 é a correta.

Regra de l'Hôpital

A regra de l'Hôpital é um método de utilizado em Cálculo para trabalhar com o quociente de funções que, quando calculado o limite, obtemos uma indeterminação.

Em suma, a regra diz que caso o limite do quociente das funções exista, o limite do quociente das suas respectivas derivadas também existirá.

I.

[tex]\lim_{x \to \infty} (\dfrac{ln(x)}{\sqrt{x}}) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ln(x)'}{\sqrt{x}'} = \lim_{x \to \infty } \dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2}{\sqrt{x}} = 0[/tex]

II.

[tex]\lim_{x \to 1} (\dfrac{x^{8}-1}{x^{5}-1}) = \lim_{x \to 1}\dfrac{8x^{7}}{5x^{4}} = \lim_{x \to 1}\dfrac{8x^{7}}{5x^{4}} = \dfrac{8}{5}[/tex]

III.

[tex]\lim_{x \to 0} (\dfrac{e^{x}-1-x}{x^{2}}) = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x}-1}{2x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x}}{2} = \dfrac{1}{2}[/tex]

Dessa forma, o único limite que está corretamente calculado é o limite II. A alternativa 2 é a correta.

Para saber mais sobre regra de l'Hôpital, acesse: brainly.com.br/tarefa/54365939

#SPJ1