Resposta:

A prova por indução matemática consiste em mostrar que a igualdade é verdadeira para um caso base (geralmente para n = 1 ou n = 2) e, em seguida, mostrar que se a igualdade é verdadeira para um determinado valor de n, ela também é verdadeira para n + 1.

Passo 1: Escolha o caso base n = 1.

1.1 + 2.(1-1) + 3.(1-2) + .... + (1-1).2 + 1.1 = 1.1 = ⅙(1)(1+1)(1+2) = 1

Passo 2: Suponha que a igualdade é verdadeira para n = k. Isso significa que:

1.k + 2.(k-1) + 3.(k-2) + .... + (k-1).2 + k.1 = ⅙k(k+1)(k+2)

Passo 3: Mostre que a igualdade também é verdadeira para n = k + 1.

1.(k+1) + 2.(k) + 3.(k-1) + .... + (k).2 + (k+1).1 = (1+2+3+...+k)+(k+1) = ⅙(k+1)(k+2)(k+3)

Passo 4: Utilizando a hipótese indutiva, a igualdade para o caso k+1 é verdadeira, pois a soma dos termos do lado esquerdo é igual a ⅙(k+1)(k+2)(k+3) e a soma dos termos do lado direito é igual a ⅙(k+1)(k+2)(k+3)

Assim, como mostrado, a igualdade é verdadeira para o caso base n = 1 e foi mostrado que a igualdade é verdadeira para n = k + 1 se for verdadeira para n = k. Portanto, pela princípio da indução, a igualdade é verdadeira para todo número natural n.