@Lukyo

Lukyo

Beginner

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que     [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.​
Responda
[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.​
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ:     [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito:   n ∈ {10q + r:   r ∈ {2, 3}  e  q ∈ ℕ}.​
Responda
[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade:     [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]​
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.​
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que,     4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]​
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ:      3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3,  com q ∈ ℕ.​
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ:      2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito:   n ∈ {21q + r:  r ∈ {10, 12, 20}  e  q ∈ ℕ}.​ [tex]\,[/tex]
Responda
Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.​
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ:     2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.​​
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]n^2<2^n[/tex] para todo n natural, n > 4.─────Instruções: Seja claro e detalhado em sua demonstração. Respostas com passagens não justificadas não serão consideradas.​
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ:      n(n + 1) ≡ 2 (mod 5).​
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular] Seja n um número natural, n ≥ 1. Mostre que [tex]n^2+n^3[/tex] não pode ser um cubo perfeito.
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular] Seja n um número natural, n ≥ 1. Mostre que os números [tex]n+2[/tex] e [tex]n^2+n+1[/tex] não podem ser ambos simultaneamente cubos perfeitos.
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números inteiros – Números primos – Divisibilidade]Seja n um número inteiro. Mostre que     [tex]13\mid n(n^3-1)(n^3+1)(n^3-5)(n^3+5).[/tex]​
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que     [tex]1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots +\dfrac{1}{n^2}<2-\dfrac{1}{n}[/tex]para todo n natural, n > 1.​
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Teorema Chinês dos Restos]Resolva o sistema linear de congruências modulares pelo Teorema Chinês dos Restos:     [tex]\left\{\begin{array}{lc}x\equiv 10&\pmod{12}\\ x\equiv 13&\pmod{15}\\ x\equiv 4&\pmod{18}\end{array}\right.[/tex]​
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números Naturais – Congruência modular – Sistema de numeração decimal – Critérios de divisibilidade]Seja [tex]n_0=10a_0+b_0[/tex] um número natural cujo algarismo das unidades é [tex]b_0.[/tex]A partir deste, efetuamos o seguinte processo:Removemos o algarismo das unidades de [tex]n_0,[/tex] e do número formado pelos algarismos restantes, subtraímos o dobro do algarismo das unidades de [tex]n_0.[/tex] O resultado será um novo número natural [tex]n_1.[/tex]O processo acima é repetido sempre sobre o último resultado obtido, até que não seja mais possível efetuar a subtração nos naturais.a) Escreva a sequência dos resultados obtidos a partir do número [tex]n_0=34673.[/tex]b) Considere que, a partir de um natural [tex]n_0[/tex] desconhecido o processo descrito foi repetido por 47 vezes, e o último resultado obtido foi [tex]n_{47}=17.[/tex] Com essas informações, calcule o resto da divisão de [tex]n_0[/tex] por 7.​
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números primos – Divisibilidade]Sejam n, r naturais, n ≥ r e p primo.Mostre que se p | n − r e 2n + 1 é primo, então p ∤ 2r + 1.Obs.: ∤ significa "não divide".Gentileza demonstrar de forma clara e com o passo a passo bem explicado, caso contrário sua resposta não será considerada correta. Obrigado.​
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Divisibilidade – Máximo Divisor Comum MDC] Sejam m, n ∈ ℕ*. Mostre que se d = mdc(m, n), então mdc(m/d, n/d) = 1. ───── Gentileza fornecer uma demonstração clara e com o passo a passo detalhado, justificando cada passagem.
Responda
[Aritmética: Congruência modular – Sistema de numeração decimal]Encontre os dois últimos dígitos do número [tex]\large\begin{array}{l}\!\! 7^{7^{3753}}.\end{array}[/tex]​
Responda
[Álgebra: Equações exponenciais]Resolva a equação exponencial em ℝ:     [tex]6^x-2^x=32[/tex]Gentileza demonstrar que não existem outras as soluções além das que você encontrou.​
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos]Seja p um número primo.Mostre que se p é da forma 4k + 1 para algum k ∈ ℕ, então p pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Gentileza responder de forma detalhada, justificando cada passagem de forma clara.​ [tex]\,[/tex]
Responda
[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Divisibilidade – Máximo Divisor Comum MDC]Sejam a, b, c números naturais. Mostre que se a | bc e mdc(a, b) = 1, então a | c.Obs.: Gentileza detalhar e justificar corretamente cada afirmação feita no decorrer da sua demonstração, caso contrário, a sua resposta poderá ser considerada incompleta.Favor não utilizar diretamente o Teorema Fundamental da Aritmética (TFA) nesta demonstração, pois este é justamente um dos resultados prévios utilizados na própria demonstração do TFA.
Responda

Helpful Links

Helpful Social

Copyright © 2024 ELIBRARY.TIPS - All rights reserved.