Resposta:

Uma vez que [tex]x[/tex] pertence ao 3º quadrante, seu seno e seu cosseno são ambos negativos.

Sabemos que:

[tex]sin\,x = 2 \, cos \,x[/tex]

Substituindo a igualdade acima na identidade trigonométrica fundamental, temos:

[tex]sin^2\,x + cos^2\,x = 1\\\\\Longrightarrow \left(2\,cos\,x\right)^2 + cos^2\,x = 1\\\\\Longleftrightarrow 4\,cos^2\,x + cos^2 \, x = 1\\\\\Longleftrightarrow 5\, cos^2 \, x = 1\\\\\Longleftrightarrow cos^2\,x = \frac{\big{1}}{\big{5}}\\\\\Longleftrightarrow cos\,x = - \sqrt{\frac{\big{1}}{\big{5}}} = -\frac{\big{\sqrt{5}}}{\big{5}}[/tex]

Assim:

[tex]sin\,x = 2 \cdot \left(-\frac{\big{\sqrt{5}}}{\big{5}} \right)\\\\\Longleftrightarrow sin\,x = -\frac{\big{2\sqrt{5}}}{\big{5}}[/tex]

Sabemos que [tex]\pi < x < \frac{\big{3\pi}}{\big{2}}[/tex]. Logo, [tex]2\pi < 2x < 3\pi.[/tex] Isto significa que [tex]sin \, 2x[/tex] é positivo.

Calculemos o valor de [tex]sin\,2x:[/tex]

[tex]sin \,2x = 2\,sin\,x \,cos\,x\\\\\Longleftrightarrow sin \,2x = 2 \cdot \left(-\frac{\big{2\sqrt{5}}}{\big{5}}\right) \cdot \left(-\frac{\big{\sqrt{5}}}{\big{5}}\right)\\\\\Longleftrightarrow \boxed{sin \,2x = \frac{\big{4}}{\big{5}}}[/tex]