Dans le plan muni d’un repère orthonormé, placer les points :
A (8 ; 4) ; B (7 ; 1) ; C (–1 ; 7).
1°) a) Calculer les coordonnées des vecteurs AC, AB et BC .
b) Calculer les distances AB ; AC ; BC.
c) Quelle est la nature du triangle ABC ?
2°) Déterminer une équation de la droite (BC)
3°) Soit H le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC)
a) Déterminer une équation de la droite (AH)
b) Calculer les coordonnées du point H.
4°) a) Soit E le milieu de [AC], calculer les coordonnées de E.
b) Soit H’ le symétrique de H par rapport au point E. Calculer les
coordonnées de H’.
c) Quelle est la nature du quadrilatère HAH’C ?
A (8 ; 4) ; B (7 ; 1) ; C (–1 ; 7).
1°) a) Calculer les coordonnées des vecteurs AC, AB et BC .
b) Calculer les distances AB ; AC ; BC.
c) Quelle est la nature du triangle ABC ?
2°) Déterminer une équation de la droite (BC)
3°) Soit H le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC)
a) Déterminer une équation de la droite (AH)
b) Calculer les coordonnées du point H.
4°) a) Soit E le milieu de [AC], calculer les coordonnées de E.
b) Soit H’ le symétrique de H par rapport au point E. Calculer les
coordonnées de H’.
c) Quelle est la nature du quadrilatère HAH’C ?
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Réponse:
1. a) Les coordonnées des vecteurs AC, AB et BC sont :
AC = C - A = (-1-8, 7-4) = (-9, 3)
AB = B - A = (7-8, 1-4) = (-1, -3)
BC = C - B = (-1-7, 7-1) = (-8, 6)
b) Les distances AB, AC et BC sont :
AB = √[(-1-8)² + (1-4)²] = √90
AC = √[(-1-8)² + (7-4)²] = √109
BC = √[(-1-7)² + (7-1)²] = 2√17
c) Pour déterminer la nature du triangle ABC, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour voir si le triangle est rectangle, isocèle ou équilatéral. Cependant, les longueurs des côtés ne suggèrent aucune de ces propriétés. Par conséquent, nous pouvons simplement dire que le triangle ABC est quelconque.
2. La droite (BC) passe par les points B et C, donc nous pouvons utiliser la formule de l'équation d'une droite pour trouver son équation :
y - y1 = m(x - x1)
où m est la pente de la droite et (x1, y1) est un point sur la droite.
La pente de la droite (BC) est :
m = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (7 - 1)/(-1 - 7) = -3/4
Nous pouvons choisir le point C pour trouver l'équation de la droite :
y - 7 = (-3/4)(x + 1)
En développant cette équation, nous obtenons :
3x + 4y = 13
Ainsi, une équation de la droite (BC) est 3x + 4y = 13.
3. a) Pour déterminer une équation de la droite (AH), nous devons trouver sa pente. La droite (AH) est perpendiculaire à la droite (BC), donc sa pente est l'opposé inverse de la pente de (BC). La pente de (BC) est -3/4, donc la pente de (AH) est 4/3.
Nous pouvons utiliser le point A pour trouver l'équation de la droite :
y - 4 = (4/3)(x - 8)
En développant cette équation, nous obtenons :
4x - 3y = -8
Ainsi, une équation de la droite (AH) est 4x - 3y = -8.
b) Pour trouver les coordonnées du point H, nous pouvons chercher le point d'intersection entre les droites (AH) et (BC). Nous pouvons résoudre ce système d'équations linéaires :
3x + 4y = 13
4x - 3y = -8
En multipliant la première équation par 3 et la deuxième équation par 4, nous obtenons :
9x + 12y = 39
16x - 12y = -32
25x = 7
x = 7/25
En remplaçant x dans la première équation, nous obtenons :
3(7/25) + 4y = 13
4y = 274/25 - 21/25 = 253/25
y = 253/100
Ainsi, les coordonnées du point H sont (7/25, 253/100).
4. a) Le point E est le milieu de [AC], donc ses coordonnées sont la moyenne des coordonnées de A et C :
x = (8 - 1)/2 = 7/2
y = (4 + 7)/2 = 11/2
Ainsi, les coordonnées du point E sont (7/2, 11/2).
b) Pour trouver les coordonnées de H', nous pouvons utiliser la formule de la symétrie par rapport à un point :
(x', y') = 2(xe - xh, ye - yh) + (xh, yh)
où (xe, ye) sont les coordonnées du point E et (xh, yh) sont les coordonnées du point H.
En utilisant cette formule, nous obtenons :
x' = 2(7/2 - 7/25) - 7/25 = 133/25
y' = 2(11/2 - 253/100) + 253/100 = 247/25
Ainsi, les coordonnées du point H' sont (133/25, 247/25).
c) Le quadrilatère HAH'C a deux paires de côtés opposés parallèles : [HA] et [HC'] sont parallèles car ils sont perpendiculaires à la droite (BC), et [AH'] et [HC] sont parallèles car ils sont perpendiculaires à la droite (BC) et passent par le point E, le milieu de [AC]. De plus, les côtés [HH'] et [AC] ont la même longueur car H' est le symétrique de H par rapport à E, donc [HA]H'C' est un parallélogramme. Enfin, [HA] et [HC'] ont la même longueur car elles sont toutes deux des hauteurs du triangle ABC, donc HAH'C' est un rectangle.