Resposta:  O resto da divisão é 28.

Explicação passo a passo:

Encontrar o resto da divisão do número

    3 304 215 100 022 011 030 555 112 712

por 97.

Proposição 1: Sejam a, b, k, p, r naturais, com mdc(10, p) = 1. Sendo x um representante da classe inversa de [tex]10^k[/tex] módulo p, vale

    se a + xb ≡ r   (mod p), então [tex](10^k)[/tex]a + b ≡ [tex](10^k)[/tex]r   (mod p).

Demonstração: Muliplique os dois lados da congruência por [tex]10^k:[/tex]

    a + xb ≡ r   (mod p)

    [tex]\Longrightarrow\quad (10^k)\cdot (a+xb)\equiv (10^k)r\quad\mathrm{(mod~}p)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (10^k)a+(10^k)x\cdot b\equiv (10^k)r\quad\mathrm{(mod~}p)[/tex]

Por hipótese, [tex](10^k)[/tex]x ≡ 1 mod p). Logo, temos

    [tex]\Longleftrightarrow\quad (10^k)a+1\cdot b\equiv (10^k)r\quad\mathrm{(mod~}p)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (10^k)a+b\equiv (10^k)r\quad\mathrm{(mod~}p)\qquad\square[/tex]

As seguintes afirmações são casos particulares da proposição 1, com k ∈ {1, 2, 4, 7, 14} e p = 97:

    [tex]a+68b\equiv r\quad\mathrm{(mod~}97)\quad\Longrightarrow\quad 10a+b\equiv 10r~~\mathrm{(mod~97)}\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

    [tex]a+65b\equiv r\quad\mathrm{(mod~}97)\quad\Longrightarrow\quad 100a+b\equiv 100r\equiv 3r~~\mathrm{(mod~97)}\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

    [tex]a+54b\equiv r~~\mathrm{(mod~97)}\quad\Longrightarrow\quad (10^4)a+b\equiv 9r~~\mathrm{(mod~}97)\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

    [tex]a+60b\equiv r~~\mathrm{(mod~97})\quad\Longrightarrow\quad (10^7)a+b\equiv 76r\equiv -21r~~\mathrm{(mod~97)}\qquad\mathrm{(iv)}[/tex]

    [tex]a+11b\equiv r~~\mathrm{(mod~}97)\quad\Longrightarrow\quad (10^{14})a+b\equiv 53r\equiv -44r~~\mathrm{(mod~97)}\qquad\mathrm{(v)}[/tex]

Omitirei os passos para obter os valores de [tex]x[/tex] e do resíduo de [tex]10^k[/tex] nas implicações acima, pois envolve várias manipulações de congruências, o que ultrapassaria o limite de caracteres.

Tomemos

    [tex]L_1=3\,304\,215\,100\,022\,011\,030\,555\,112\,712[/tex]

Para aplicar (v), decomponha [tex]L_1[/tex] em duas partes cada uma com 14 dígitos:

    [tex]\Longrightarrow\quad L_1=(10^{14})a_1+b_1[/tex]

sendo [tex]a_1[/tex] = 33 042 151 000 220 e [tex]b_1[/tex] = 11 030 555 112 712.

Multiplicando [tex]b_1[/tex] por 11 e somando [tex]a_1,[/tex] obtemos um novo número

    [tex]\overset{\mathrm{(v)}}{\Longrightarrow}\quad L_2=a_1+11b_1\\\\ \Longleftrightarrow\quad L_2=33\,042\,151\,000\,220+11\cdot 11\,030\,555\,112\,712\\\\ \Longleftrightarrow\quad L_2=154\,378\,257\,240\,052[/tex]

[tex]L_2[/tex] é um número de 15 dígitos.

Para aplicar (iv), decomponha [tex]L_2[/tex] em duas partes, uma com 8 e outra com 7 dígitos:

    [tex]\Longleftrightarrow\quad L_2=(10^7)a_2+b_2[/tex]

sendo [tex]a_2=15\,437\,825[/tex] e [tex]b_2=7\,240\,052.[/tex]

Multiplicando [tex]b_2[/tex] por 60 e somando [tex]a_2,[/tex] obtemos um novo número:

    [tex]\overset{\mathrm{(iv)}}{\Longrightarrow}\quad L_3=a_2+60b_2\\\\ \Longleftrightarrow\quad L_3=15\,437\,825+60\cdot 7\,240\,052\\\\ \Longleftrightarrow\quad L_3=449\,840\,945[/tex]

[tex]L_3[/tex] é um número de 9 dígitos.

Para aplicar (iii), decomponha [tex]L_3[/tex] em duas partes, uma com 5 e outra com 4 dígitos:

    [tex]\Longleftrightarrow\quad L_3=(10^4)a_3+b_3[/tex]

sendo [tex]a_3=44\,984[/tex] e [tex]b_3=0\,945.[/tex]

Multiplicando [tex]b_3[/tex] por 54 e somando [tex]a_3,[/tex] obtemos um novo número:

    [tex]\overset{\mathrm{(iii)}}{\Longrightarrow}\quad L_4=a_3+54b_3\\\\ \Longrightarrow\quad L_4=44\,984+54\cdot 945\\\\ \Longleftrightarrow\quad L_4=96\,014[/tex]

[tex]L_4[/tex] é um número de 5 dígitos.

Para aplicar (ii), decomponha [tex]L_4[/tex] em duas partes, uma com 3 e outra com 2 dígitos:

    [tex]\Longleftrightarrow\quad L_4=(10^2)a_4+b_4[/tex]

sendo [tex]a_4=960[/tex] e [tex]b_4=14.[/tex]

Multiplicando [tex]b_4[/tex] por 65 e somando [tex]a_4,[/tex] obtemos um novo número:

    [tex]\overset{\mathrm{(ii)}}{\Longrightarrow}\quad L_5=a_4+65b_4\\\\ \Longleftrightarrow\quad L_5=960+65\cdot 14\\\\ \Longleftrightarrow\quad L_5=1870[/tex]

[tex]L_5[/tex] é um número de 4 dígitos.

Como último dígito de [tex]L_5[/tex] é zero, ao aplicar (i) o próximo número obtido será

     [tex]\Longrightarrow\quad L_6=10a_6+b_6=187[/tex]

com [tex]a_6=187[/tex] e [tex]b_6=0.[/tex]

Agora temos que efetuar a divisão de 187 por 97 e retornar no algoritmo até o número inicial.

    [tex]\Longrightarrow\quad 187\equiv 90\equiv -7\quad\mathrm{(mod~}97)\\\\ \Longleftrightarrow\quad L_6\equiv 90\equiv -7\quad \mathrm{(mod~}97)\\\\ \overset{\mathrm{(i)}}{\Longrightarrow}\quad L_5\equiv 10\cdot (-7)=-70\equiv 27\quad \mathrm{(mod~}97)\\\\ \overset{\mathrm{(ii)}}{\Longrightarrow}\quad L_4\equiv 3\cdot 27=81\equiv -16\quad \mathrm{(mod~}97)[/tex]

    [tex]\overset{\mathrm{(iii)}}{\Longrightarrow}\quad L_3\equiv 9\cdot (-16)=-144\equiv -47\equiv 50\quad \mathrm{(mod~}97)\\\\ \overset{\mathrm{(iv)}}{\Longrightarrow}\quad L_2\equiv (-47)\cdot (-21)=987\equiv 17\quad \mathrm{(mod~}97)[/tex]

Finalmente, temos

    [tex]\overset{\mathrm{(v)}}{\Longrightarrow}\quad L_1\equiv 53\cdot 17=901\equiv -69\equiv 28\quad\mathrm{(mod~}97)[/tex]

Logo, o resto procurado é 28.

Bons estudos! :-)