Resposta:

Para determinar a equação da circunferência, precisamos encontrar o centro (h, k) e o raio (r). Sabendo que a circunferência tangencia a reta no ponto B (0,3), podemos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta para determinar o raio.

A fórmula da distância entre um ponto (x1, y1) e uma reta ax + by + c = 0 é dada por:

d = |ax1 + by1 + c| / sqrt(a^2 + b^2)

No nosso caso, a reta é 4x - y + 3 = 0 e o ponto é B (0,3). Vamos substituir esses valores na fórmula:

d = |4(0) - (3) + 3| / sqrt(4^2 + (-1)^2)

d = 3 / sqrt(16 + 1)

d = 3 / sqrt(17)

Sabemos que a distância entre o centro da circunferência (h, k) e o ponto A (0,1) também é igual ao raio. Portanto, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o raio:

r^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2

r^2 = (0 - h)^2 + (1 - k)^2

Substituindo as coordenadas do ponto A (0,1):

r^2 = (0 - h)^2 + (1 - k)^2

Agora, vamos montar um sistema de equações com as duas equações:

r^2 = (0 - h)^2 + (1 - k)^2

r = 3 / sqrt(17)

Podemos substituir r na primeira equação e simplificar:

(3 / sqrt(17))^2 = (0 - h)^2 + (1 - k)^2

9 / 17 = h^2 + (1 - k)^2

Agora, podemos isolar k na segunda equação:

k = 1 + sqrt(9/17 - h^2)

Portanto, a equação da circunferência é:

(x - h)^2 + (y - (1 + sqrt(9/17 - h^2)))^2 = 9 / 17

Note que não é possível determinar os valores de h e k com base nas informações fornecidas. Portanto, essa é uma equação geral da circunferência que passa pelo ponto A (0,1) e tangencia a reta 4x-y+3=0 no ponto B (0,3), mas com um centro ainda não definido.