✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a primeira derivada da referida função vetorial é:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{r~}'(t) = \langle -3\sin t ,\: 3\cos t,\: 1 \rangle\end{gathered}$}[/tex]
Seja a função vetorial:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{r}(t) = \langle 3 \cos t, \:3 \sin t,\:t \rangle\end{gathered}$}[/tex]
Sabemos que a derivada da função vetorial é outra função vetorial cujas componentes são iguais as derivadas de cada uma das funções que representam as referidas componentes, Então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{r~}'(t) = \langle\vec{r}_{i}(t),\:\vec{r}_{j}(t),\:\vec{r}_{k}(t) \rangle\end{gathered}$}[/tex]
Antes de iniciarmos o processo de derivação, devemos atentar para as seguintes regras de derivação:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:f(x) = a\Longrightarrow f' (x) = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se} \:f(x) = \sin(x)\Longrightarrow f'(x) = \cos(x)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:f(x) = \cos(x)\Longrightarrow f'(x) = -\sin(x)\end{gathered}$}[/tex]
Se:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = g(x)\cdot h(x)\end{gathered}$}[/tex]
Então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f'(x) = g'(x)\cdot h(x) + g(x)\cdot h'(x)\end{gathered}$}[/tex]
Então, calculando a derivada, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\vec{r}_{i}(t) & = (3)'\cos t + 3\cdot(\cos t)'\\& = 0\cdot \cos t + 3\cdot(-\sin t )\\& = -3\sin t\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, a derivada da primeira componente é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{r}_{i}(t)= -3\sin t \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\vec{r}_{j}(t) & = (3)'\cdot\sin t + 3\cdot(\sin t)' \\& = 0\cdot \sin t + 3\cdot \cos t\\& = 3\cos t\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, a derivada da segunda componente é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{r}_{j}(t) = 3\cos t\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\vec{r}_{k}(t) & = (t)'\\& = 1\cdot t^{1 - 1}\\& = 1\cdot t^0\\& = 1\cdot 1\\& = 1\end{aligned} $}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{r}_{k}(t)= 1\end{gathered}$}[/tex]
✅ Agora, devemos montar a derivada da função. Então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{r~}'(t) = \langle -3\sin t ,\: 3\cos t,\: 1 \rangle\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a primeira derivada da referida função vetorial é:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{r~}'(t) = \langle -3\sin t ,\: 3\cos t,\: 1 \rangle\end{gathered}$}[/tex]
Seja a função vetorial:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{r}(t) = \langle 3 \cos t, \:3 \sin t,\:t \rangle\end{gathered}$}[/tex]
Sabemos que a derivada da função vetorial é outra função vetorial cujas componentes são iguais as derivadas de cada uma das funções que representam as referidas componentes, Então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{r~}'(t) = \langle\vec{r}_{i}(t),\:\vec{r}_{j}(t),\:\vec{r}_{k}(t) \rangle\end{gathered}$}[/tex]
Antes de iniciarmos o processo de derivação, devemos atentar para as seguintes regras de derivação:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:f(x) = a\Longrightarrow f' (x) = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se} \:f(x) = \sin(x)\Longrightarrow f'(x) = \cos(x)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:f(x) = \cos(x)\Longrightarrow f'(x) = -\sin(x)\end{gathered}$}[/tex]
Se:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = g(x)\cdot h(x)\end{gathered}$}[/tex]
Então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f'(x) = g'(x)\cdot h(x) + g(x)\cdot h'(x)\end{gathered}$}[/tex]
Então, calculando a derivada, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\vec{r}_{i}(t) & = (3)'\cos t + 3\cdot(\cos t)'\\& = 0\cdot \cos t + 3\cdot(-\sin t )\\& = -3\sin t\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, a derivada da primeira componente é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{r}_{i}(t)= -3\sin t \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\vec{r}_{j}(t) & = (3)'\cdot\sin t + 3\cdot(\sin t)' \\& = 0\cdot \sin t + 3\cdot \cos t\\& = 3\cos t\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, a derivada da segunda componente é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{r}_{j}(t) = 3\cos t\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\vec{r}_{k}(t) & = (t)'\\& = 1\cdot t^{1 - 1}\\& = 1\cdot t^0\\& = 1\cdot 1\\& = 1\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, a derivada da segunda componente é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{r}_{k}(t)= 1\end{gathered}$}[/tex]
✅ Agora, devemos montar a derivada da função. Então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{r~}'(t) = \langle -3\sin t ,\: 3\cos t,\: 1 \rangle\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]