Resposta:

[tex]y=0.[/tex]

Explicação passo a passo:

Seja [tex]A[/tex] a matriz 3x3 dada. Calculemos seu determinante em função de [tex]y,[/tex] aplicando a Regra de Sarrus:

[tex]det\left(A\right) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}\\- a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} - a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}\\\\\\\Longleftrightarrow det\left(A\right) = y \cdot 2y \cdot 2 + 2 \cdot \left(-1\right) \cdot 4 + 1 \cdot 0 \cdot 3 \\- 1 \cdot 2y \cdot 4 - y \cdot \left(-1\right) \cdot 3 - 2 \cdot 0 \cdot 2\\\\\\\Longleftrightarrow det\left(A\right)= 4y^2 -5y - 8[/tex]

Resolvamos agora a equação modular dada:

[tex]\left|10 + x\right| = 2\\\\\Longleftrightarrow \left(10 + x \geq 0\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\,10 + x = 2\right)\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\,\left(10 + x < 0\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\,-10-x = 2\right)\\\\\Longleftrightarrow \left(x \geq -10\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\,x = -8\right)\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\,\left(x < -10\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\,x = -12\right)\\\\\Longleftrightarrow x = -8\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\,x = -12[/tex]

Notemos que a maior raiz da equação acima é [tex]x = -8.[/tex]

Assim:

[tex]det\left(A\right) = -8\\\\\Longleftrightarrow 4y^2 -5y - 8 = -8\\\\\Longleftrightarrow 4y^2 - 5y = 0\\\\\Longleftrightarrow y\left(4y - 5\right) = 0\\\\\Longleftrightarrow y = 0\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\,4y - 5 = 0\\\\\Longleftrightarrow y = 0\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\,y = \dfrac{5}{4}[/tex]

Logo, o menor valor de [tex]y[/tex] é [tex]0.[/tex]

Resposta:

[tex]\sf{}Segue~a~resposta[/tex]

Explicação passo-a-passo:

Para determinar o valor mínimo de y, vamos calcular o determinante da matriz e utilizar a informação fornecida sobre as raízes da equação.

A matriz dada é:

[tex] \sf{}\[ \mathsf{ \begin{bmatrix} \sf y &\sf 2 & \sf 1 \\ \sf 0& \sf 2y &\sf -1\\ \sf 4 & \sf 3 & \sf 2 \\ \end{bmatrix} } \][/tex]

Calculando o determinante dessa matriz:

[tex]\[ \textsf{det} \left( \mathsf{ \begin{bmatrix} \sf y &\sf 2 & \sf 1 \\ \sf 0& \sf 2y &\sf -1\\ \sf 4 & \sf 3 & \sf 2 \\ \end{bmatrix} } \right) = \textsf{det} \left( \mathsf{ \begin{bmatrix} \sf 2y &\sf -1 \\ \sf 3 & \sf 2 \\ \end{bmatrix} } \right) \cdot \textsf{det} \left( \mathsf{ \begin{bmatrix} \sf y &\sf 1 \\ \sf 4 & \sf 2 \\ \end{bmatrix} } \right) - \textsf{det} \left( \mathsf{ \begin{bmatrix} \sf 2y &\sf -1 \\ \sf 4 & \sf 3 \\ \end{bmatrix} } \right) \cdot \textsf{det} \left( \mathsf{ \begin{bmatrix} \sf y &\sf 1 \\ \sf 0 & \sf 2 \\ \end{bmatrix} } \right) \][/tex]

[tex] \sf{}\[ = (4y - 3) \cdot (2y - 2) - (8y + 4) \cdot (y) = \\ \sf{}-12y^2 + 12y - 6 \][/tex]

Agora, temos a informação de que o determinante é igual à maior das raízes da equação [tex]\sf{}\mid 10 + x \mid = 2[/tex].

Podemos reescrever a equação como duas equações separadas:

[tex] \sf{}\[ 10 + x = 2 \quad \text{ou} \quad 10 + x = -2 \][/tex]

Resolvendo cada uma das equações:

[tex] \sf{}\[ x = -8 \quad \text{ou} \quad x = -12 \][/tex]

Como o determinante deve ser a maior das raízes, temos [tex]\sf{}x = -8[/tex].

Agora, substituímos essa raiz na equação do determinante:

[tex] \sf{}\[ -12y^2 + 12y - 6 = -8 \][/tex]

Reorganizando a equação:

[tex] \sf{}\[ -12y^2 + 12y - 6 + 8 = 0 \][/tex]

[tex] \sf{}\[ -12y^2 + 12y + 2 = 0 \][/tex]

Dividindo toda a equação por -2 para simplificar:

[tex] \sf{}\[ 6y^2 - 6y - 1 = 0 \][/tex]

Utilizando a fórmula quadrática:

[tex] \sf{}\[ y = \cfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(6)(-1)}}{2(6)} \][/tex]

[tex] \sf{}\[ y = \cfrac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{12} \][/tex]

[tex] \sf{}\[ y = \cfrac{6 \pm \sqrt{60}}{12} \][/tex]

[tex] \sf{}\[ y = \cfrac{6 \pm 2\sqrt{15}}{12} \][/tex]

[tex] \sf{}\[ y = \cfrac{1 \pm \cfrac{\sqrt{15}}{6}}{2} \][/tex]

Aqui, temos duas soluções para y:

[tex] \sf{}\[ y_1 = \cfrac{1 + \cfrac{\sqrt{15}}{6}}{2} \quad \text{e} \quad y_2 = \cfrac{1 - \cfrac{\sqrt{15}}{6}}{2} \][/tex]

O menor valor de y é [tex]\sf{} y_2[/tex], dado por:

[tex] \sf{}\[ y_2 = \cfrac{1 - \cfrac{\sqrt{15}}{6}}{2} \][/tex]

Bons estudos!