Essa integral de linha representa o trabalho realizado por esse campo para deslocar, por exemplo, uma partícula pelo caminho [tex]C[/tex]. Para facilitar o entendimento vamos anotar o que temos. Seja [tex]\overrightarrow{F}(x,y)[/tex] um campo vetorial com componentes [tex]P(x,y)[/tex] e [tex]Q(x,y)[/tex], então:

[tex]\textbf{F}(x,y)=P(x,y)\cdot\textbf{\^{i}}+Q(x,y)\cdot\textbf{\^{j}}[/tex]

[tex]P(x,y)=x+y\\Q(x,y)=2\cdot x[/tex]

 Agora vamos focar no nosso caminho:

[tex]C: y=x^{2}-3\cdot x, \ (1,-2) \rightarrow(3,0)[/tex]

 Vamos parametrizar a nossa curva com relação a uma única variável [tex]t[/tex]. Tomaremos [tex]x(t)=t[/tex] e [tex]y(t)=t^{2}-3\cdot t[/tex], uma parametrização bem fácil de visualizar. Sendo assim, nossa equação vetorial que determina a curva é:

[tex]\textbf{r}(t)=x(t)\cdot\textbf{\^{i}}+y(t)\cdot\textbf{\^{j}}[/tex]

 Agora vamos escrever nossa integral de linha com esses dados, e admitir a ela o valor de [tex]I[/tex]:

[tex]I=\int_C {\textbf{F}} \, d\textbf{r}[/tex]

 Só fizemos escrever ela de outra forma, dessa vez parametrizada, mas vai continuar sendo a mesma integral, do campo vetorial [tex]\textbf{F}(x,y)[/tex]  realizando um trabalho agindo sobre o caminho determinado por [tex]\textbf{r}(t)[/tex].

 Lembrando que agora [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] estão em função de [tex]t[/tex], então não se esqueça de fazer essa mudança dentro de [tex]\textbf{F}(x,y)[/tex]:

[tex]\textbf{F}(\textbf{r}(t))=(t+t^{2}-3\cdot t, 2\cdot t)\\\textbf{F}(\textbf{r}(t))=(t^{2}-2\cdot t, 2\cdot t)[/tex]

 Por fim vamos fazer algumas alterações nessa integral para transformá-la em uma integral simples:

[tex]\dfrac{d\textbf{r}}{dt}=\textbf{r}'(t) \ \leftrightarrow \ d\textbf{r}=\textbf{r}'(t)\cdot dt[/tex]

 Fizemos a mudança na integral, sabemos que [tex]\textbf{r}[/tex] vai de [tex](1,-2)[/tex] a [tex](3,0)[/tex], mas e o [tex]t?[/tex] Vamos ver:

[tex]x(t)=t\\\\t=1\ e \ t=3[/tex]

 Vamos precisar de [tex]\textbf{r}'(t)[/tex], então vamos calcular bem rápido:

[tex]\textbf{r}'(t)=x'(t)\cdot\textbf{\^{i}}+y'(t)\cdot\textbf{\^{j}}\\\textbf{r}'(t)=(1,2\cdot t-3)[/tex]

 Agora vamos juntar todos os nossos dados e resolver nossa integral simples:

[tex]\textbf{F}(\textbf{r}(t))=(t^{2}-2\cdot t, 2\cdot t)\\\\\textbf{r}'(t)=(1,2\cdot t-3)\\\\\\1\leq t\leq 3[/tex]

-x-

[tex]I=\int\limits^b_a {\textbf{F}(\textbf{r}'(r))}\cdot\textbf{r}'(t) \, dt\\ \\ I=\int\limits^3_1 {(t^{2}-2\cdot t,\ 2\cdot t)\cdot(1,\ 2\cdot t-3)} \, dt\\\\ I=\int\limits^3_1 {(t^{2}-2\cdot t+4\cdot t^{2}-6\cdot t)} \, dt\\\\I=\int\limits^3_1 {(5\cdot t^{2}-8\cdot t)} \, dt\\\\I=\left[\dfrac{5\cdot t^{3}}{3}-\dfrac{8\cdot t^{2}}{2}\right]^3_1\\\\I=\dfrac{5\cdot 3^{3}}{3}-4\cdot 3^{2}-\dfrac{5}{3}+4\\\\I=\dfrac{135-5}{3}-36+4\\\\I=\dfrac{130}{3}-32\\\\I\approx43,33-32\\\\\boxed{I\approx11,33}[/tex]

 Basicamente parametrizamos a nossa curva e o nosso campo vetorial, depois mudamos isso na nossa integral e por fim achamos o resto das coisas que precisávamos, como o intervalo de [tex]t[/tex] e a função vetorial [tex]\textbf{r}'(t)[/tex].

Dúvidas só perguntar!