[tex]\displaystyle \sf f(x) = mx^2+(m+1)x+(m+1) \\\\ \text{1\º,vamos achar a condi\c c\~ao de exist\^encia das ra\'izes nos reais} : \\\\\ \Delta \geq 0\\\\ b^2-4ac \geq 0\\\\ (m+1)^2-4.m.(m+1)\geq 0 \\\\[/tex]

[tex]\displaystyle \sf m^2+2m+1-4m^2-4m\geq 0 \\\\ -3m^2-2m+1\geq 0\ \ \cdot (-1) \\\\ 3m^2+2m-1\leq 0 \\\\ \text{ra\'izes} :\\\\ m = \frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 3\cdot (-1)}}{2\cdot 3}\\\\\\ m =\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{6} =\frac{-2\pm\sqrt{16}}{6} \\\\\\ m = \frac{-2\pm 4}{6}\\\\\ m = \frac{-2-4}{6} = \frac{-6}{6} \to m =-1\\\\\\ m=\frac{-2+4}{6} =\frac{2}{6} \to m =\frac{1}{3} \\\\\ \text{intervalo negativo} : \\\\\ -1\leq m\leq \frac{1}{3} \\\\\\[/tex]

[tex]\displaystyle \sf \text{para que tenha apenas uma raiz real }: \Delta = 0\\\\ 3m^2+2m-1 = 0 \\\\ \large\boxed{\sf \ m=-1 \ ou \ m =\frac{1}{3} \ }\checkmark[/tex]

Resposta:

Explicação passo a passo:

Na função dada destacamos os coeficientes a, b e c para a equação do 2º grau:

a=m; b=m+1; c= m+1.

Considerando o enunciado onde se deseja o valor de m para que a função tenha apenas uma raiz, teremos Δ=0, então:

(m+1)^2-4*m*(m+1)=0

3m^2+2m+1=0

Aplicando a fórmula da equação do 2º grau na incógnita m:

m= 2±√Δ/2*3

Δ=2^2-4*3*(-1)

Δ=16⇒√Δ=4

m= 2±4/6 ⇒ m(1)= 1/3 e m(2)= -1

Temos para m dois valores que substituiremos na função principal; com f(x)=0:

P/m(1)= 1/3⇒ 1/3x^2+(1/3+1)x+(1/3+1)=0 ∴ x^2/3+4/3x+4/3=0

P/m(2)= -1⇒(-)x^2+(-1+1)x+(-1+1)=0 ∴ -x^2+0x+0=0

O enunciado pede apenas uma raiz real, então igualando Δ=0 para m(1)=1/3

(4/3)^2-4*1/3*4/3=0 ⇒ 16/9-16/9=0

x=(-4/3÷2/3)±0 ⇒ -4/3*3/2=2.

O valor de m desejado é:1/3.

Obrigado!

Espero ter ajudado um pouco

seguem fotos anexas com desenvolvimento das operações