Resposta:
A base para o espaço vetorial S são os vetores A = (1,1,0), B = (1,-1,-1).
Explicação passo a passo:
Podemos escrever a equação que define o espaço S como um produto escalar:
(x,y,z) . (1,-1,2) = 0 (1)
Chamando V = (1,-1,2)
(x,y,z) . V = 0 (2)
As equações 1 e 2 definem um plano em R^3R
3
, ortogonal ao vetor V. Dadas 2 coordenadas de um ponto a terceira está definida, então o espaço S tem 2 dimensões.
Podemos usar a equação (1) para encontrar alguns vetores dentro do plano S:
A = (1,1,0), B = (1,-1,-1)
De fato,
(1,1,0) . (1,-1,2) = 0
(1,-1,-1) .(1,-1,2) = 0
E (1,1,0).(1,-1,-1) = 1-1 = 0
O produto escalar A.B é igual a 0, então A e B são ortogonais. Vamos escrever um vetor X a como combinação linear dos vetores A e B:
X = a*(1,1,0) + b*(1,-1,-1)
= (a,a,0) + (b, -b, -b)
= (a+b, a-b, -b)
Fazendo a transformação x=a+b, y=a-b, z=-b podemos verificar que x-y+2*z = 0. Invertendo essas equações,
a = (x+y)/2
b = (x-y)/2
Assim para cada vetor X=(x,y,z) em S existem (a,b) tais que V = a*(1,1,0) + b*(1,-1,-1), portanto A e B são uma base de S.
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Resposta:
A base para o espaço vetorial S são os vetores A = (1,1,0), B = (1,-1,-1).
Explicação passo a passo:
Podemos escrever a equação que define o espaço S como um produto escalar:
(x,y,z) . (1,-1,2) = 0 (1)
Chamando V = (1,-1,2)
(x,y,z) . V = 0 (2)
As equações 1 e 2 definem um plano em R^3R
3
, ortogonal ao vetor V. Dadas 2 coordenadas de um ponto a terceira está definida, então o espaço S tem 2 dimensões.
Podemos usar a equação (1) para encontrar alguns vetores dentro do plano S:
A = (1,1,0), B = (1,-1,-1)
De fato,
(1,1,0) . (1,-1,2) = 0
(1,-1,-1) .(1,-1,2) = 0
E (1,1,0).(1,-1,-1) = 1-1 = 0
O produto escalar A.B é igual a 0, então A e B são ortogonais. Vamos escrever um vetor X a como combinação linear dos vetores A e B:
X = a*(1,1,0) + b*(1,-1,-1)
= (a,a,0) + (b, -b, -b)
= (a+b, a-b, -b)
Fazendo a transformação x=a+b, y=a-b, z=-b podemos verificar que x-y+2*z = 0. Invertendo essas equações,
a = (x+y)/2
b = (x-y)/2
Assim para cada vetor X=(x,y,z) em S existem (a,b) tais que V = a*(1,1,0) + b*(1,-1,-1), portanto A e B são uma base de S.