Réponse :

Bonjour

1a) On calcule B(2)

[tex]B(2) = -3\times2^2+30\times2-63\\B(2)=-15[/tex]

Le bénéfice est de -15 000 €.

1b ) On calcule B(5)

[tex]B(5) = -3\times5^2+30\times5-63\\B(5)=12[/tex]

Le bénéfice annuel pour la vente de bracelets à 5€ est de 12 000 €

2.

Déterminons les racines de B

Δ = b² - 4ac

Δ = 30²-4×(-3)×(-63)

Δ=144

Δ>0 donc B a deux racines.

x1 = (-b-√Δ)/(2a)

x1 = (-30-12)/-6

x1 = 7

x1 = (-b+√Δ)/(2a)

x2 = (-30+12)/(-6)

x2 = 3

De plus a <0 (a = -3)

On a donc :

x       |0         3      7       10 |

-------------------------------------|

B(x)  |       -     0  +  0   -      |

3. D'après le tableau précédent l'entreprise réalise un bénéfice pour x ∈ [3; 7]

4. Le problème revient à résoudre B(x) > 9

-3x² +30x - 63 > 9

-3x² + 30x  - 72 > 0

Δ = 30²- 4×(-3)×(-72)

Δ = 36

Δ>0 donc le polynome -3x² + 30x  - 72 a deux racines.

x1 = (-b-√Δ)/(2a)

x1 = (-30-6)/(-6)

x1 = 6

x1 = (-b+√Δ)/(2a)

x2 = (-30+6)/(-6)

x2 = 4

x                            |0         4      6       10 |

-------------------------------------------------------|

-3x² + 30x  - 72   |       -     0  +  0   -      |

Ainsi B(x) > 9 pour x ∈  ]4; 6[

Le benefice annuel sera strictement supérieur à 9000€ si le prix de vente des bracelets est strictement superieur à 4€ et strictement inferieur à 6 €