Durant l'hiver, la probabilité pour qu'une personne ait la grippe est estimée à 5 %. Le diagnostic clinique est posé lorsque la personne présente les symptômes suivants : courbatures, fièvre subite, signes respiratoires. Durant l'hiver, la probabilité pour qu'une personne présente ces symptômes est estimée à 10 %. On sait aussi qu'une personne ayant la grippe a 80 % de risque d'avoir ces symptômes. Soit G et S les événements : G : « L‘individu a la grippe » ; S : « L'individu présente les symptômes ».
1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation.
2. Quelle est la probabilité d'avoir la grippe et de présenter les symptômes décrits ci-dessus ?
3. Quelle est la probabilité d'avoir la grippe sachant qu'on présente les symptômes décrits ci-dessus ?
1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation.
2. Quelle est la probabilité d'avoir la grippe et de présenter les symptômes décrits ci-dessus ?
3. Quelle est la probabilité d'avoir la grippe sachant qu'on présente les symptômes décrits ci-dessus ?
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1. Construction de l'Arbre Pondéré
L'arbre pondéré représente les différentes probabilités et leurs relations.
- La probabilité d'avoir la grippe (G) est de 5 % (ou 0,05) et donc la probabilité de ne pas avoir la grippe (non-G) est de 95 % (ou 0,95).
- Si une personne a la grippe (G), la probabilité d'avoir les symptômes (S) est de 80 % (ou 0,8), et donc la probabilité de ne pas avoir les symptômes (non-S) est de 20 % (ou 0,2).
- Si une personne n'a pas la grippe (non-G), nous devons déduire la probabilité d'avoir les symptômes (S). Sachant que 10 % des personnes présentent les symptômes, et que 4 % des personnes (80 % des 5 % ayant la grippe) présentent les symptômes en ayant la grippe, il reste 6 % des personnes (10 % - 4 %) présentant les symptômes sans avoir la grippe. Donc, la probabilité est de 6 % / 95 % ≈ 0,0632.
L'arbre se présente donc comme suit :
- G (5 %)
- S (80 %)
- non-S (20 %)
- non-G (95 %)
- S (6,32 %)
- non-S (93,68 %)
2. Probabilité d'Avoir la Grippe et de Présenter les Symptômes (P(G et S))
C'est simplement le produit des probabilités de G et S dans la branche correspondante :
( PG et S) = P(G) x P(S | G) = 0,05 x 0,8
### 3. Probabilité d'Avoir la Grippe Sachant qu'on Présente les Symptômes (P(G | S))
Pour cela, nous utilisons la formule de Bayes :
P(G | S) = P(G et S)/P(S)
où P(S) est la probabilité totale d'avoir les symptômes, soit P(S) = P(G) x P(S | G) + P(non-G) x P(S non-G).
Calculons ces probabilités.
### Résultats
1. **Probabilité d'avoir la grippe et de présenter les symptômes (P(G et S))** :
La probabilité est de 4 % (ou 0,04).
2. **Probabilité d'avoir la grippe sachant qu'on présente les symptômes (P(G | S))** :
La probabilité est de 40 % (ou 0,4).
Cela signifie qu'une personne présentant les symptômes a une probabilité de 40 % d'avoir effectivement la grippe.