Réponse :

Explications étape par étape :

bonjour

pour l'exercice sur la photo

g(x) = e^x -x +1

1)

dérivée

g'(x) = e^x -1

signe de la dérivée

e^x -1 >0   =>  e^x > 1

on sait que e^o = 1

donc

g'(x) > 0 si x> 0

g'(x) < 0 si x < 0

2)

voir tableau de variations joint

3)

le minimum de la fonction

est atteint quand x =0

g(0) = e^0 - 0 + 1 = 1+1 =2

minimum sur [-5 ; 5] de g(x) = 2

2 positif

donc g(x) est toujours positive sur  [-5 ; 5]

Re bonjour ,

La prochaine fois , tu mets tout l'exo en entier avec une photo !! Ce serait plus clair, je te le répète.

1)

g(x)=e^x-x+1

g '(x)=e^x-1

2)

e^x-1 > 0 ==> e^x > 1 ==> x > 0.

Variation de g(x) :

x------->-5.........................0.....................5

g '(x)--->...............-............0.......+...........

g(x)---->≈6...........D.........2...........C........≈144

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte

3)

D'après le tableau de variation , sur [-5;5],  g(x) passe par un minimum qui est égal à 2 atteint pour x=0.

Donc sur cet intervalle , g(x) > 0.

4)

f(x)=(x+1)  + (x/e^x)

On cherche d'abord la dérivée de : x/e^x qui est de la forme u/v.

u=x donc u'=1

v=e^x donc v'=e^x

(u/v) ' =(e^x-x*e^x) / (e^x)²=[e^x(1-x) /(e^x*e^x)

On simplifie par "e^x":

(u/v) '=(1-x)/e^x

Donc :

f '(x)=1 +[ (1-x)/e^x]

On réduit au même dénominateur :

f ' (x)=(e^x+1-x) / e^x

f '(x)=(1/e^x) * (e^x-x+1)

f '(x)=(1/e^x) *g(x)

Le facteur (1/e^x) est > 0  et g(x) > 0 comme vu en3).

Donc variation de f(x) :

x------>-5........................5

f '(x)-->.................+.........

f(x)-->≈-746......C.........6.03

5)

On prend : f ' (x)=(e^x+1-x) / e^x

f '(0)=(1+1)/1=2

f(0)=1

y=2x+1