Introdução à Robótica Industrial Adriano A. G. Siqueira Aula 4
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Cinemática Direta • Dado: variáveis das juntas (ângulos ou deslocamentos) • Procurado: posição e orientação do efetuador • Transformação homogênea entre os sistemas de coordenadas da base (0) e do efetuador (n)
T0n
=
"
R0n 0
dn0 1
#
=
"
n0 0
s0 0
a0 0
dn0 1
#
=
nx ny nz 0
sx sy sz 0
ax ay az 0
dx dy dz 1
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Representação Denavit-Hartenberg • Defina o eixo zi ao longo do eixo da junta i + 1. O eixo zn é definido na direção do eixo zn−1 se a junta n é rotacional. • Defina O0 no eixo z0 e x0 convenientemente. • Para i = 1, · · · , n − 1: • Posicionar a origem Oi onde a normal comum a zi e zi−1 intersecta zi . Se zi intersecta zi−1 posicionar Oi nesta intersecção. Se zi e zi−1 são paralelos, posicionar Oi na junta i + 1. • Defina xi ao longo da normal comum a zi e zi−1 com direção da junta i para i + 1, ou na direção normal ao plano zi−1 − zi se zi−1 e zi se intersectam. • Defina On convenientemente ao longo do eixo zn (no centro da garra) e xn normal ao eixo zn − 1. • Escolha yi para completar a “regra da mão direita” ˜ a` Robotica ´ Introduc¸ao Industrial – p. 3/23
Representação Denavit-Hartenberg • Criar uma tabela dos parâmetros dos elos, ai , di , αi e θi . • ai = distância ao longo de xi da intersecção dos eixos xi e zi−1 até Oi . • di = distância ao longo zi−1 de Oi−1 até a intersecção dos eixos xi e zi−1 . di é variável se a junta i é prismática. • αi = o ângulo entre zi−1 e zi medido em torno de xi . • θi = o ângulo entre xi−1 e xi medido em torno de zi−1 . θi é variável se a junta i é rotativa. i • Calcular as matrizes de transformação homogêneas Hi−1 substituindo os parâmetros acima em (1). n • Calcular T0n = H01 · · · Hn−1 .
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Representação Denavit-Hartenberg • Transformação homogênea entre os sistemas de coordenadas i e i − 1
(1)
i Hi−1
=
cθi sθ i 0 0
−sθi cαi cθi cαi sα i 0
sθ i sα i −cθi sαi cαi 0
ai cθi ai sθi di 1
sendo θi , ai , di , αi parâmetros do elo i e junta i.
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Exemplo • Considere um manipulador planar de dois elos.
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Exemplo • Parâmetros de D-H:
Elo 1 2
ai a1 a2
αi 0 0
di 0 0
θi θ1 θ2
• Matrizes homogêneas
H01 =
c1 s1 0 0
−s1 c1 0 0
0 0 1 0
a1 c1 a1 s1 0 1
H12 =
c2 s2 0 0
−s2 c2 0 0
0 a2 c2 0 a2 s2 1 0 0 1
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Exemplo • Matriz de tranformação homogênea T02 :
T02 = H01 H12 =
c12 s12 0 0
−s12 c12 0 0
0 a1 c1 + a2 c12 0 a1 s1 + a2 s12 1 0 0 1
• As seguinte relações trigonométricas são utilizadas: c12 = c1 c2 − s1 s2 e s12 = s1 c2 + s2 c1 . • Posição da origem O2 : dx dy
= a1 c1 + a2 c12 = a1 s1 + a2 s12
• Orientação: φ = θ1 + θ2 . ˜ a` Robotica ´ Introduc¸ao Industrial – p. 8/23
Espaço das juntas e Espaço das posições e orientações
• Espaço das juntas: q =
q1 q2 .. . qn
(
qi = θi , para junta rotacional qi = di , para junta prismtica
" # n d0 • Espaço das posições e orientações: x = = Φ • Cinemática direta: x = f(q)
dx dy dz φ θ ψ
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Cinemática Inversa • Dado: posição e orientação do efetuador • Procurado: variáveis das juntas (ângulos ou deslocamentos) • Funções não lineares • Múltiplas soluções • Pode ser que não existam soluções admissíveis. • Soluções analíticas • + pouco tempo de cálculo • − aplicáveis para um único tipo de robô • − não existe procedimento padrão • Soluções numéricas iterativas • + aplicáveis para robôs diferentes • − não apropriadas para aplicações em tempo real • − problemas de convergência nas proximidades de singularidades ˜ a` Robotica ´ Introduc¸ao Industrial – p. 10/23
Exemplo • Considere o manipulador de dois elos dx dy
= a1 c1 + a2 c12 = a1 s1 + a2 s12
• Elevando ao quadrado as duas equações e somando d2x + d2y = a21 + a22 + 2a1 a2 c2 • Então d2x + d2y − a21 − a22 c2 = 2a1 a2 • Existência de solução: −1 ≤ c2 ≤ 1 ⇒ fora do espaço de trabalho
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Exemplo
q s2 = ± 1 − c22 • O sinal está relacionado com as duas possibilidades de valor para θ2 θ2 = atan2(s2 , c2 )
indef inido para n = d = 0 ◦ 90 para n > 0 e d = 0 ◦ −90 para n < 0 e d = 0 γ = atan2(n, d) = 0◦ ≤ γ < 90◦ para n ≥ 0 e d > 0 ◦ ◦ 90 ≤ γ < 180 para n ≥ 0 e d < 0 ◦ ◦ −180 ≤ γ < −90 para n ≤ 0 e d < 0 −90◦ ≤ γ < 0◦ para n ≤ 0 e d > 0
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Exemplo • Substituindo θ2 nas equações s1 c1 • Portanto
=
(a1 + a2 c2 )dy − a2 s2 dx d2x + d2y
=
(a1 + a2 c2 )dx + a2 s2 dy d2x + d2y
θ1 = atan2(s1 , c1 )
• Se a orientação, φ = θ1 + θ2 , é dada ⇒ única solução
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Manipuladores de 6 gdl’s com punho esférico • Eixos do punho se intersectam num único ponto • Posição e orientação dados por: dn0 e R = [n0 s0 a0 ] • Os problemas de posição e orientação podem ser desacoplados • Solução: • Calcule a posição do punho: dp0 • Resolva a cinemática inversa para (q1 , q2 , q3 ) • Calcule R03 • Calcule R36 = (R03 )T R • Resolva a cinemática inversa para a orientação, (q4 , q5 , q6 ), determinando os ângulos de Euler com relação ao sistema de coordenadas O3 x3 y3 z3 .
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Ângulos de Euler • (φ, θ, ψ) - três variáveis idependentes. • Rotação em torno de z0 pelo ângulo φ ′
• Rotação em torno de y0 pelo ângulo θ ′′
• Rotação em torno de z0 pelo ângulo ψ • Matriz de rotação
Rz0 ,φ Ry′ ,θ Rz ′′ ,ψ 0
0
c φ c θ c ψ − sφ sψ = sφ c θ c ψ + c φ sψ −sθ cψ
r11 R = r21 r31
r12 r22 r32
−cφ cθ sψ − sφ cψ −sφ cθ sψ + cφ cψ sθ sψ
c φ sθ sφ sθ cθ
r13 r23 r33
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Ângulos de Euler • Se r13 6= 0 e r23 6= 0. φ θ ψ
= atan2(r23 , r13 ) q 2 + r2 , r ) = atan2( r13 23 33 = atan2(r32 , −r31 )
• O ângulo θ é limitado a (0, π). Se sθ = 0, ou seja, θ = 0 ou π , é possível determinar somente a soma ou diferença entre os ângulos φ e ψ .
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Exemplo: Stanford • dp0 = dn0 − d6 a
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Exemplo: Stanford
dpx • dp0 = dp y dpz y0
z0
dpy
dpz d3 T2
s
s
r E
d1 d2
D
T1 dpx
x0 ˜ a` Robotica ´ Introduc¸ao Industrial – p. 18/23
Exemplo: Stanford • Sendo r 2 = dp2x + dp2y β = acos(d2 /r) α = atan2(dpy , dpx ) θ1 = α − β • Cálculo de θ2 s = sen(β)r θ2 = atan2(dpz − d1 , s) • A variável d3 é dada por: p d3 = (dpz − d1 )2 + s2
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Cinemática da velocidade • Relação entre as velocidades das juntas e velocidades (linear e angular) do efetuador • Matriz Jacobiana geométrica d˙ n0 = Jd (q)q˙ w0 = Jw (q)q˙ • Sendo Jd (q) e Jw (q) matrizes 3 × n. Ainda v=
"
d˙ n0 w0
#
=
"
Jd (q) Jw (q)
#
q˙ = J(q)q˙
• Sendo J(q) uma matriz 6 × n.
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Cinemática da velocidade • Matriz Jacobiana analítica d˙ n0
∂dn0 = Jd (q)q˙ = q˙ ∂q
˙ = JΦ (q)q˙ = ∂Φ q˙ Φ ∂q • Assim x˙ =
"
d˙ n0 ˙ Φ
#
=
"
Jd (q) JΦ (q)
#
q˙ = JA (q)q˙
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Exemplo: Jacobiana analítica • Manipulador com dois elos
dx a1 c1 + a2 c12 x = dy = a1 s1 + a2 s12 φ θ1 + θ2 d˙x −a1 s1 θ˙1 − a2 s12 (θ˙1 + θ˙2 ) x˙ = d˙y = a1 c1 θ˙1 + a2 c12 (θ˙1 + θ˙2 ) φ˙ θ˙1 + θ˙2
Jd (q) JΦ (q)
#
• Matriz Jacobiana
JA (q) =
"
−a1 s1 − a2 s12 = a1 c1 + a2 c12 1
−a2 s12 a2 c12 1 ˜ a` Robotica ´ Introduc¸ao Industrial – p. 22/23
Cinemática inversa da posição via matriz Jacobiana • Cinemática inversa da velocidade q˙ = J(q)−1 v • Cálculo das variáveis das juntas q=
Z
t
q(T ˙ )dT + q0 T =0
• Usando a integração de Euler q(tk+1 ) = q(tk ) + q(t ˙ k )∆t q(tk+1 ) = q(tk ) + J(q(tk ))−1 v(tk )∆t • A matriz Jacobiana precisa ser invertível e q0 precisa ser conhecida.
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