Em um quadrado de lado L1 = 1 está inscrito uma circunferência de raio R1 ; nesta
circunferência está inscrito um quadrado de lado L2 ; neste quadrado está inscrita uma
circunferência de raio R2 ; nesta circunferência está inscrito um quadrado de lado L3 ;
neste quadrado está inscrita uma circunferência de raio R3 ; e assim por diante
(inscrevendo infinitos quadrados em infinitas circunferências).
Mostre que os raios das circunferências, na ordem em que aparecem, estão em progressão
geométrica. Determine a razão da progressão e calcule sua soma.
circunferência está inscrito um quadrado de lado L2 ; neste quadrado está inscrita uma
circunferência de raio R2 ; nesta circunferência está inscrito um quadrado de lado L3 ;
neste quadrado está inscrita uma circunferência de raio R3 ; e assim por diante
(inscrevendo infinitos quadrados em infinitas circunferências).
Mostre que os raios das circunferências, na ordem em que aparecem, estão em progressão
geométrica. Determine a razão da progressão e calcule sua soma.
Lista de comentários
Resposta:
[tex]\Large \textsf{Leia abaixo}[/tex]
Explicação passo a passo:
[tex]\Large \text{$ \sf R_1 = \dfrac{L_1}{2} \rightarrow \textsf{circunfer{\^e}ncia inscrita}$}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf R_1 = \dfrac{L_2\sqrt{2}}{2} \rightarrow \textsf{circunfer{\^e}ncia circunscrita}$}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf L_1 = 1$}[/tex]
[tex]\Large \boxed{\text{$ \sf R_1 = \dfrac{1}{2}$}}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf \dfrac{L_1}{2} = \dfrac{L_2\sqrt{2}}{2}$}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf \dfrac{1}{2} = \dfrac{L_2\sqrt{2}}{2}$}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf L_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$}[/tex]
[tex]\Large \boxed{\text{$ \sf R_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$}}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf \dfrac{L_2}{2} = \dfrac{L_3\sqrt{2}}{2}$}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{L_3\sqrt{2}}{2}$}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf L_3 = \dfrac{1}{2}$}[/tex]
[tex]\Large \boxed{\text{$ \sf R_3 = \dfrac{1}{4}$}}[/tex]
[tex]\Large \boxed{\boxed{\text{$ \sf \dfrac{R_3}{R_2} = \dfrac{R_2}{R_1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$}}}\rightarrow\textsf{formam uma PG}[/tex]
[tex]\Large \boxed{\boxed{\text{$ \sf q = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$}}}}\leftarrow\textsf{raz{\~a}o da PG}[/tex]
[tex]\Large \boxed{\text{$ \sf S = \dfrac{a_1}{1 - q}$}}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf S = \dfrac{1/2}{1 - \sqrt{2}/2}$}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf S = \dfrac{1/2}{(2 - \sqrt{2})/2}$}[/tex]
[tex]\Large \boxed{\boxed{\text{$ \sf S = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{2}$}}}\leftarrow\textsf{soma da PG}[/tex]