Resposta:

Explicação passo a passo:

Vejamos:

Se é múltiplo de 3 é do tipo 3n, n∉N.

Assim:

3n≡7 mod10

3n≡5mod 8

3n≡3 mod 6

Da primeira expressão temos que o número termina em 7.

57 é múltiplo de 3 e termina em satisfaz  a primeira, mas não a segunda então NÃO SERVE. Assim como 87 e nessa busca encontramos 117 como o menor número que satisfaz as 3 equações.

E como o mmc de 10,8 e 6 é 120.

O número é da forma: 117+120q. com q∈N.

Verified answer

Resposta:

As soluções para o problema proposto são todos os naturais na forma

     [tex]x=120n+117=3\cdot (40n+39)[/tex]

com n natural, n ≥ 0.

O número x = 117 é uma solução particular, e a menor solução natural. No entanto, existem infinitas soluções, obtidas para cada valor natural de n.

Em notação de congruência modular, as soluções são todos os números naturais que satisfazem a congruência

     [tex]x\equiv 117\pmod{120}.[/tex]

Explicação passo a passo:

Seja x um número natural tal que

• x deixa resto 7 na divisão por 10;
• x deixa resto 5 na divisão por 8;
• x deixa resto 3 na divisão por 6.

Logo, existem [tex]q_1,\,q_2,\,q_3[/tex] naturais, tais que

     [tex]\left\{\begin{array}{l} x=10q_1+7\\\\ x=8q_2+5\\\\ x=6q_3+3 \end{array}\right.[/tex]

Os números 10, 8 e 6 não dois a dois são primos entre si, e por esse motivo não é possível aplicar diretamente e o Teorema Chinês dos Restos.

No entanto, temos mmc(10, 8, 6) = 120. Sendo assim, podemos fatorar 120 como:

•   120 = 10 · 12
•   120 = 8 · 15
•   120 = 6 · 20

Multiplicando as equações do sistema respectivamente por 12, 15 e 20, temos

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}12x=12(10q_1+7)\\\\ 15x=15(8q_2+5)\\\\ 20x=20(6q_3+3) \end{array}\right.\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}12x=120q_1+84\\\\ 15x=120q_2+75\\\\ 20x=120q_3+60 \end{array}\right.[/tex]

Escrevendo as equações em notação de congruência modular, temos

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{lc} 12x\equiv 84\pmod{120}&\quad\mathrm{(i)}\\\\ 15x\equiv 75\pmod{120}&\quad\mathrm{(ii)}\\\\ 20x\equiv 60\pmod{120}\quad\mathrm{(iii)}\end{array}\right.[/tex]

Como mdc(12, 15, 20) = 1, garantimos que o sistema possui solução.

Para obtê-la, podemos fazer qualquer combinação linear entre as equações (i), (ii) e (iii) e resolver o sistema.

Podemos por exemplo somar todas as equações membro a membro:

     [tex]\Longrightarrow\quad 12x+15x+20x\equiv 84+75+60\pmod{120}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 47x\equiv 219\pmod{120}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 47x\equiv 120\cdot 2-21\pmod{120}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 47x\equiv -21\pmod{120}\qquad\mathrm{(iv)}[/tex]

Agora, precisamos encontrar algum representante da classe inversa do 47 módulo 120, isto é, um número natural m que ao ser multiplicado por 47 deixe resto 1 na divisão por 120.

Como mdc(47, 120) = 1, tal classe inversa existe e seus representantes m satisfazem a relação de Bézout:

     [tex]47m+120n=1\qquad\mathrm{(v)}[/tex]

Resolvendo a equação diofantina (v) pelo algoritmo de Euclides:

     [tex]120=2\cdot 47+26\\\\ 47=26+21\\\\ 26=21+5\\\\ 21=5\cdot 4+1[/tex]

Da última igualdade, tiramos

     [tex]\Longrightarrow\quad 21-5\cdot 4=1[/tex]

Eliminamos o 5, reescrevendo-o como 26−21:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 21-(26-21)\cdot 4=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 21-26\cdot 4+21\cdot 4=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 26\cdot (-4)+21\cdot 5=1[/tex]

Eliminamos o 21, reescrevendo-o como 47−26:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 26\cdot (-4)+(47-26)\cdot 5=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 26\cdot (-4)+47\cdot 5-26\cdot 5=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 47\cdot 5+26\cdot (-9)=1[/tex]

Por fim, eliminamos o 26, reescrevendo-o como 120−2·47:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 47\cdot 5+(120-2\cdot 47)\cdot (-9)=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 47\cdot 5+120\cdot (-9)+47\cdot 18=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 47\cdot 23+120\cdot (-9)=1\qquad\mathrm{(vi)}[/tex]

Comparando (vi) com (v), percebemos que o par [tex](m,\,n)=(23,\,-9)[/tex] é uma solução para a equação (v).

Portanto, [tex]m=23[/tex] é um representante da classe inversa do 47, módulo 120, isto é

     [tex]23\cdot 47\equiv 1\pmod{120}\qquad\mathrm{(vii)}[/tex]

Sendo assim, multiplique por 23 ambos os lados da equação (iv):

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 23\cdot 47x\equiv 23\cdot (-21)\pmod{120}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1081x\equiv -483\pmod{120}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1080x+x\equiv -600+117\pmod{120}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 120\cdot (9x)+x\equiv 120\cdot (-5)+117\pmod{120}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\equiv 117\pmod{120}[/tex]

Portanto, as soluções para o problema proposto são todos os naturais na forma

     [tex]x=120n+117[/tex]

com n natural, n ≥ 0

sendo x = 117 a menor solução.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos.