Dado uma P.A. de nove termos, em que a soma dos dois primeiros termos é igual a 20 e a soma do sétimo e oitavo termo é 140, é preciso determinar a soma de todos os termos desta P.A.

Seja 'a' o primeiro termo e 'r' a razão desta P.A.

Pela fórmula da soma dos termos de uma P.A., temos:

$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Sabendo que a P.A. tem nove termos, temos:

$S_9 = \dfrac{9(a + (a + 8r))}{2}$

$S_9 = \dfrac{9(2a + 8r)}{2}$

$S_9 = 9(a + 4r)$

A partir das informações fornecidas no enunciado, temos:

$a_1 + a_2 = 20$

$a + (a + r) = 20$

$2a + r = 20$

$a_7 + a_8 = 140$

$a + 6r + a + 7r = 140$

$2a + 13r = 140$

Agora, podemos utilizar um sistema de equações para encontrar os valores de 'a' e 'r':

$\begin{cases}

2a + r = 20 \\

2a + 13r = 140

\end{cases}$

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:

$12r = 120$

$r = 10$

Substituindo o valor de 'r' na primeira equação, temos:

$2a + 10 = 20$

$a = 5$

Agora que conhecemos os valores de 'a' e 'r', podemos calcular a soma de todos os termos da P.A.:

$S_9 = 9(a + 4r)$

$S_9 = 9(5 + 4 \cdot 10)$

$S_9 = 9 \cdot 45$

$S_9 = 405$

Portanto, a alternativa correta é:

a) Sn=405.

De acordo com os dados do enunciado e feito a resolução concluímos a soma de todos os termos desta P.A é S_n = 405. E que corresponde a alternativa correta é a letra A.

Progressão aritmética ( P. A ) é uma sequência de números na qual a diferença entre cada termo ( a partir do segundo) e o termo anterior é uma constante, chamada razão ( r ).

Exemplos:

( 3, 9, 15, 21, ...) é uma progressão aritmética de razão  r = 6.

( 3, 5, 7, 9, ...) é uma progressão aritmética de razão  r = 2.

A partir da P. A. acima, sabemos que:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad a_2 = a_1+r } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad a_3 = a_1+2r } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad a_4 = a_1+3r } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad \quad \quad \vdots } $ }[/tex]

Termo geral da P. A:

[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_n = a_1+ (n - 1)\cdot r } $ } }[/tex]

A soma de todos os termos da P. A finita poderá ser calculada pela expressão:

[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2} } $ } }[/tex]

Dados fornecido pelo enunciado:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf n= 9 \\ \sf a_1 + a_2 = 20 \\ \sf a_7 + a_8 = 140 \\ \sf S_9 = \:? \end{cases} } $ }[/tex]

Solução:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf a_1 + a_2 = 20 \\\sf a_7 +a_8 = 140 \end{cases} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf a_1 + a_1 +r = 20 \\\sf a_1 +6r + a_1 +7r = 140 \end{cases} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf 2a_1 +r = 20 \quad \times (\:-\:1\:) \\\sf 2a_1 +13r = 140 \end{cases} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \underline{ \begin{cases} \sf -\: \Big/ \mkern -15mu 2a_1 -\: r = -\:20 \\\sf \Big/ \mkern -15mu 2a_1 +13r = 140 \end{cases}} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Big/ \mkern -15mu 12\:{}^{ 1 } r = \Big/ \mkern -20mu 120\:{}^{ 1 0} } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf r = 10 }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 2a_1 +r = 20 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 2a_1 + 10 = 20 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{2a_1 = 20-10 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Big/ \mkern -11mu 2\:{}^{ 1 } a_1 = \Big/ \mkern -15mu10\:{}^{ 5} } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_1 = 5 }[/tex]

Calculando [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf a_n = a_9 $ }[/tex], temos:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_n = a_1 + (n-1) \cdot r } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_9 = 5 + (9-1) \cdot 10 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_9 = 5 + 8 \cdot 10 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_9 = 5 + 80 } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_9 = 85 }[/tex]

Aplicando a expressão da soma de todos os termos da P. A finita, temos:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_n = \dfrac{(5 + 85)\cdot 9}{2} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_n = \dfrac{90\cdot 9}{2} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_n = 45 \cdot 9 } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S_n = 405 }[/tex]

Alternativa correta é a letra A.

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