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Considerando os conceitos de uma Progressão Geométrica = PG, concluímos que:

a) O tamanho da planta passado 4 meses é de 48 cm

b) A função relacionando tempo e tamanho de crescimento é

   [tex]\large \text {$ f(t) = 3 \cdot 2^{(t-1)} $}[/tex]

Vamos lembrar que o dobro significa multiplicar por 2.

a)

Considerando a planta a partir de 3 cm teremos:

[tex]\large \text {$In\acute{i}cio \implies 3~cm $}[/tex]

[tex]\large \text {$1^o ~m\hat{e}s \implies 3\cdot 2 = 6~cm $}[/tex]

[tex]\large \text {$2^o ~m\hat{e}s \implies 6\cdot 2 = 12~cm $}[/tex]

[tex]\large \text {$3^o ~m\hat{e}s \implies 12\cdot 2 = 24~cm $}[/tex]

[tex]\large \text {$4^o ~m\hat{e}s \implies 24\cdot 2 = \boxed{48~cm} $}[/tex] ⇒ Tamanho após 4 meses

b)

Percebemos que esse é um caso de Progressão.

Não é Aritmética (PA) pois a diferença entre os valores não é constante.

É uma Progressão Geométrica (PG), pois apresenta números com o mesmo quociente quando da divisão de dois termos consecutivos.

Exemplo:

[tex]\large \text {$a_1 = 3 $}[/tex]

[tex]\large \text {$a_2 = 6 $}[/tex]

[tex]\large \text {$a_3 = 12 $}[/tex]

[tex]\large \text {$a_4 = 24 $}[/tex]

[tex]\large \text {$a_5 = 48 $}[/tex]

[tex]\large \text {$ \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{6}{3} = 2 $}[/tex]     [tex]\large \text {$ ou ~ ~~\dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{12}{6} = 2 $}[/tex]    [tex]\large \text {$ ou ~ ~~\dfrac{a_5}{a_4} = \dfrac{48}{24} = 2 $}[/tex]

E esse resultado "2", vamos chamar de razão = q:

[tex]\large \text {$q = \dfrac{a_n}{a_{n-1}} $}[/tex]

Considerar uma situação problema significa, considerar um formato (expressão) onde possamos encontrar um elemento nessas condições em qualquer posição, que seria aₙ

Vamos então considerar apenas o primeiro elemento e a razão

[tex]\large \text {$ a_1 = 3 $}[/tex]

[tex]\large \text {$ a_2 = 6 \implies 3 \cdot 2 \implies a_1 \cdot q $}[/tex]

[tex]\large \text {$ a_3 = 12 \implies 3 \cdot 4 \implies 3 \cdot 2^2 \implies a_1 \cdot q^{n-1} $}[/tex]

[tex]\large \text {$ a_4 = 24 \implies 3 \cdot 8 \implies 3 \cdot 2^3 \implies a_1 \cdot q^{n-1} $}[/tex]

Perfeito!

Nossa função será:

[tex]\Large \text {$ f(n) = a^1 \cdot q ^{n-1} $}[/tex]

Considerando que a variável será o tempo, vamos trocar "n" por "t" de tempo:

[tex]\Large \text {$ f(t) = a^1 \cdot q ^{t-1} $}[/tex]

[tex]\large \text {$ a_1 = 3 $}[/tex]

[tex]\large \text {$ q = 2 $}[/tex]

[tex]\Large \text {$ \boxed{ f(t) = 3 \cdot 2^{t-1}} $}[/tex]

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