Réponse :

Explications étape par étape :

a) Pour étudier le sens de variation de la fonction f(x) = e^x/x sur R*, on commence par calculer sa dérivée :

f'(x) = (xe^x - e^x)/x^2 = e^x(x-1)/x^2

La fonction f'(x) s'annule en x = 1 et change de signe en passant de x < 1 à x > 1, donc on peut en déduire le tableau de variations de f(x) :

x | ... | 0- | 0+ | 1- | 1+ | ...

f'(x) | + | - | + | - | + | + |

f(x) | + | décroissante | croissante | décroissante | croissante | + |

b) Pour étudier le sens de variation de la fonction g(x) = 2/(e^x) + 3 sur R, on commence par calculer sa dérivée :

g'(x) = -2e^-x/(e^x)^2 = -2/e^(2x)

La fonction g'(x) est strictement négative sur R, donc la fonction g(x) est décroissante sur R :

En résumé, la fonction f est croissante sur ]0, 1+[, décroissante sur ]-∞, 0[ et ]1, +∞[ et admet un minimum en x = 1.

La fonction g, quant à elle, est décroissante sur R.