Exercice 1 Un maire a fait border deux côtés d'un terrain rectangle par des arbres Les arbres sont régulièrement espacés et la distance entre deux arbres est un nombre entier de mètres. De plus, un arbre est planté à chacun des trois angles arborés du terrain. Ce terrain a pour longueur 414m et pour largeur 270m. 1) Effectuer les décompositions en produits de la curs premiers de 414 et 270. 2) Determiner toutes les distances possibles entre deux arbres ? Justifier la réponse. T 3) Si on choisit la plus grande distance possible, quel sera cette distance et combien d'arbres scront alors nécessaires ? 4) La mairie souhaite que les arbres soient espacés d'au plus 10m. On dispose de 80 arbres. De combien doit-on alors espacer les arbres pour en avoir assez et respecter la contrainte imposée par le maire ?
Qlq peut m'aider svp ? Merci
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Bonjour,
1. On décompose 414 et 270 en produits de facteurs premiers :
414 = 2 x 3 x 3 x 23
270 = 2 x 3 x 3 x 3 x 5
2. Les arbres doivent être espacé de la même distance sur la largeur que sur la longueur. Il faut donc que l'espacement soit un diviseur de 414 et de 270.
Ici, les diviseurs communs de 414 et 270 sont :
1,2,3,6,9,18
Ce sont les distances possibles entre les deux arbres en mètre.
3. La distance la plus grande possible est 18.
Sur la largeur il y aura :
270/18 = 15 espacements de 18 mètres
Sur la longueur il y aura :
414/18 = 23 espacements de 18 mètres
Au total, il y aura 15 + 23 = 38 espacements entre les 39 arbres.
39 arbres seront nécessaires.
4. Avec 9 mètres entre chaque arbre, nous aurons :
270/9 = 30 espacements sur la largeur
414/9 = 46 espacements sur la longueur
Soit 30+46 = 76 espacements entre les 77 arbres.
Avec 6 mètres entre chaque arbre, nous aurons :
270/6 = 45 espacements sur la largeur
414/6 = 69 espacements sur la longueur
Soit 45+69 = 114 espacements entre les 115 arbres.
Avec 9 mètres d'espace, on a assez d'arbre pour respecter la condition d'espacement du maire tout en maximisant l'espace entre chaque arbre.
En dessous, on voit qu'on ne dispose plus assez d'arbre.
On doit alors espacer les arbres de 9 mètres pour en avoir assez et respecter la contrainte imposée par le maire.