Exercice 12
Une entreprise estime le coût d'un forage ainsi :
Le premier mètre coûte 1 000 euros.
Le second mètre coûte 1 050 euros et chaque mètre supplémentaire coûte 50 euros de plus que le précédent.
On dispose d'un crédit de 519 750 €.
On appelle (un) la suite telle que u₁ = 1 000 et un, représente de coût du ŋe mètre.
a) Montrer que (un) est une suite arithmétique dont on précisera la raison. Exprimer alors un en fonction de n.
b) Montrer que le nombre de mètres n que l'on peut forer avec le crédit alloué vérifie : n² + 39n - 20 790 = 0
c) En déduire la profondeur du forage que l'on peut creuser avec le crédit dont on dispose.
Pouvez-vous m'aider svp
Merci beaucoup
Une entreprise estime le coût d'un forage ainsi :
Le premier mètre coûte 1 000 euros.
Le second mètre coûte 1 050 euros et chaque mètre supplémentaire coûte 50 euros de plus que le précédent.
On dispose d'un crédit de 519 750 €.
On appelle (un) la suite telle que u₁ = 1 000 et un, représente de coût du ŋe mètre.
a) Montrer que (un) est une suite arithmétique dont on précisera la raison. Exprimer alors un en fonction de n.
b) Montrer que le nombre de mètres n que l'on peut forer avec le crédit alloué vérifie : n² + 39n - 20 790 = 0
c) En déduire la profondeur du forage que l'on peut creuser avec le crédit dont on dispose.
Pouvez-vous m'aider svp
Merci beaucoup
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Bonjour ,
a)
Chaque mètre supplémentaire entraîne un coût de 50 € en plus.
Donc :
U(n+1)=U(n)+50
Ce qui prouve que la suite (U(n)) est une suite arithmétique de raison r=50 et de 1er terme U(1)=1000.
On sait alors que :
U(n)=U(1)+(n-1) x r soit ici :
U(n)=1000 + (n-1) x 50
U(n)=1000 +50n -50
U(n)=950+50n
b)
Le coût du nième mètre ( du dernier mètre si on va jusqu'à "n" mètres) est donc (950+50n).
Il faut calculer le montant total ( la somme S ) de "n" mètres construits.
Pour une suite arithmétique :
S=nb de termes x ( 1er terme + dernier terme)/2
S=n x (1000+950+50n)/2
S=n x (1950+50n)/2
S=n x (1950/2 +50n/2)
S=n x (475+25n)
S=475n+25n²
On résout donc :
25n²+475n=519750
25n²+475n-519750=0
On divise chaque terme par 25 :
n²+39n-20790=0
c)
Δ=39²-4(1)(-20760)=84681
√84681=291
Une seule racine positive :
n=(-39+291)/2
n=126
On peut creuser 126 m avec le crédit dont on dispose.