Explications étape par étape:

Bonjour, il s'agit ici de maîtriser les calculs algébriques de base sur les complexes.

1) Par définition de la suite Zn, Z1 = (1+i)*Z0 = (1+i)(1-i) = 1 - i^2 = 2 (identité remarquable).

Z2 = (1+i)*Z1 = 2*(1+i).

2) Propriété du cours, Z * Zbarre = |Z|^2 (module de z au carré). Pour le démontrer, considérons Z = x+iy un complexe, et Zbarre = x - iy sont conjugué.

Alors Z*Zbarre = (x+iy)(x-iy) = x^2 - (iy)^2 = x^2 + y^2 qui est un réel.

3) a- U0 = Z0 * Z0barre = Z1 = 2, U1 = Z1 * Z1barre = 4, U2 = Z2 * Z2barre = 2*(1+i)*2*(1-i) = 4*2 = 8.

B) Auparavant, on a démontré que, quel que soit le complexe z, Z * Zbarre est réel. Étant donné que Zn représente une suite de complexes, Un est donc réel.

C) Un+1 = Zn+1 * Zn+1barre = |Zn+1|^2 = | (1+i)*Zn |^2 = | 1+i |^2 * |Zn|^2 = 2 * |Zn|^2 = 2 * Zn * Znbarre = 2*Un. Un est donc géométrique de raison 2, et de premier terme U0 = 2.

D) Les formules du cours permettent de déduire que Un = U0 * 2^n = 2^(n+1).

E) 2 > 1, donc lim 2^n+1 = lim Un = + infini.