Exercice 2 Soit ABC un triangle équilatéral de 3 cm de côté. Soit M le milieu de [BC] et O le milieu de [AM]. On appelle alors respectivement D et E les symétriques de B et C par rapport à O.
1)Montrer que E, A et D sont alignés. 2)Déterminer la longueur EM.
3)Montrer que les droites (DM) et (BA) sont parallèles.
4)Montrer que DMA = BAM
1)Montrer que E, A et D sont alignés. 2)Déterminer la longueur EM.
3)Montrer que les droites (DM) et (BA) sont parallèles.
4)Montrer que DMA = BAM
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Réponse :
Explications étape par étape :
1 ) Les points C,M,B sont alignés
Les points E, A , D sont les symétriques respectifs des points C,M,B par rapport à O et comme la symétrie conserve l'alignement les points E, A , D
sont alignés
2° Le triangle ABC est équilatéral donc la médiane (AM) est aussi la hauteur donc le triangle AMB est rectangle en M
AM = [tex]3\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex] ( La hauteur d'un triangle équilatéral de côté a est [tex]a\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
AE =3/2 car AE est symétrique de CM et la symétrie conserve les distances
avec le théorème de Pythagore on a
[tex]EM^{2}= AM^{2}+AE^{2} = (3\frac{\sqrt{3} }2}) ^{2} + (\frac{3}{2} )^{2} = \frac{9*3}{4} +\frac{9}{4} =\frac{36}{4} =9\\EM= \sqrt{9} =3[/tex]
3° O est le milieu de [AM]
O est le milieu de [BD]
Dans le quadrilatère MDAB les diagonales[ AM ]et [DB ]ont le même milieu donc c'est un parallélogramme et donc ses côtés opposés sont parallèles donc (DM)//(AB)
4)
DA = MB DABM parallèlogramme
DM = AB DABM parallèlogramme
Et AM = AM
Les côtés des triangles ont les mêmes longueurs donc ils sont égaux