EXERCICE 3 Une population d'élève comportant 40% de bacheliers a subi un test de recrutement en première année d'une grande école. Ce test a donné des résultats suivants : 75% des bacheliers sont admis et 52% des non bacheliers sont admis. On choisit au hasard un élève de la population. On note: • B l'événement : «> • Tl'événement : « l'élève est admis au test >> • A l'événement : « l'élève est bachelier et est admis au test >> 1) Préciser chacune des probabilités suivantes : a- la probabilité P(B) de l'événement B. b- la probabilité PB (T) de T sachant que B est réalisé. c- la probabilité PB (T) de T sachant que B n'est pas réalisé. 2) Démontrer que la probabilité de l'événement A est égale à 0,3. 3) Calculer la probabilité de l'événement T. 4) Déduire des questions précédentes que les événements B et T ne sont pas indépendants. 5) Démontrer que la probabilité pour qu'un élève admis au test soit bachelier est
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Réponse :
a) La probabilité P(B) de l'événement B, c'est-à-dire la probabilité qu'un élève soit bachelier, est donnée comme étant de 40%, soit 0,4.
b) La probabilité PB(T) de T sachant que B est réalisé, c'est-à-dire la probabilité qu'un élève soit admis au test sachant qu'il est bachelier, est donnée comme étant de 75%, soit 0,75.
c) La probabilité PB(T) de T sachant que B n'est pas réalisé, c'est-à-dire la probabilité qu'un élève soit admis au test sachant qu'il n'est pas bachelier, est donnée comme étant de 52%, soit 0,52.
Pour calculer la probabilité de l'événement A, nous devons prendre en compte deux conditions : l'élève doit être bachelier et admis au test. La probabilité d'être bachelier est donnée par P(B) = 0,4 et la probabilité d'être admis au test sachant qu'il est bachelier est donnée par PB(T) = 0,75. Donc, la probabilité de l'événement A est donnée par P(A) = P(B) * PB(T) = 0,4 * 0,75 = 0,3.
Pour calculer la probabilité de l'événement T, nous devons prendre en compte les deux possibilités : être bachelier et être admis au test, et ne pas être bachelier et être admis au test. La probabilité d'être bachelier et admis au test est donnée par P(A) = 0,3 (calculé à la question 2). La probabilité de ne pas être bachelier est donnée par P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0,4 = 0,6. La probabilité d'être admis au test sachant que l'élève n'est pas bachelier est donnée par PB'(T) = 0,52. Donc, la probabilité de l'événement T est donnée par :
P(T) = P(A) + P(B') * PB'(T)
= 0,3 + 0,6 * 0,52
= 0,3 + 0,312
= 0,612
Pour vérifier si les événements B et T sont indépendants, nous devons comparer la probabilité conjointe des deux événements (P(B ∩ T)) avec le produit des probabilités individuelles (P(B) * P(T)). Si P(B ∩ T) est différent de P(B) * P(T), alors les événements ne sont pas indépendants.
La probabilité conjointe des événements B et T, c'est-à-dire la probabilité d'être bachelier et admis au test, est donnée par P(B ∩ T) = P(A) = 0,3.
Le produit des probabilités individuelles est donné par P(B) * P(T) = 0,4 * 0,612 = 0,2448.
Puisque P(B ∩ T) ≠ P(B) * P(T), on peut conclure que les événements B et T ne sont pas indépendants.
Explications :